Question

En $\triangle PAT,$ $\angle P = 36^\circ,$ $\angle A = 56^\circ,$ y $PA = 10.$ Los puntos $U$ y $G$ están sobre los lados $\overline{TP}$ y $\overline{TA},$ respectivamente, de modo que $PU = AG = 1.$ Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $\overline{PA}$ y $\overline{UG},$ respectivamente. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo agudo formado por las rectas $MN$ y $PA$ ?

In $\triangle PAT,$ $\angle P = 36^\circ,$ $\angle A = 56^\circ,$ and $PA = 10.$ Points $U$ and $G$ lie on sides $\overline{TP}$ and $\overline{TA},$ respectively, so that $PU = AG = 1.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of segments $\overline{PA}$ and $\overline{UG},$ respectively. What is the degree measure of the acute angle formed by lines $MN$ and $PA?$

$76$

$77$

$78$

$79$

$80$

Solución:

Extiende $PN$ a través de $N$ hasta $Q$ con $PN = NQ.$ Como $N$ es el punto medio de $UG$ y de $PQ,$ el cuadrilátero $UPGQ$ es un paralelogramo, así que $GQ \parallel PT$ y $GQ = PU = 1 = AG.$ Entonces $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ,$ y el triángulo isósceles $QGA$ da $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.$

Como $M, N$ son puntos medios, $MN$ es una paralela media del $\triangle QPA,$ así que $MN \parallel AQ$ y $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned}$ El ángulo agudo entre la recta $MN$ y $PA$ es por lo tanto $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend $PN$ through $N$ to $Q$ with $PN = NQ.$ Since $N$ is the midpoint of $UG$ and of $PQ,$ the quadrilateral $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = 1 = AG.$ Then $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ,$ and the isosceles triangle $QGA$ gives $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.$

Because $M, N$ are midpoints, $MN$ is a midline of $\triangle QPA,$ so $MN \parallel AQ$ and $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned}$ The acute angle between line $MN$ and $PA$ is therefore $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años