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2018 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2018 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

En △PAT,\triangle PAT, ∠P=36∘,\angle P = 36^\circ, ∠A=56∘,\angle A = 56^\circ, y PA=10.PA = 10. Los puntos UU y GG están sobre los lados TP‾\overline{TP} y TA‾,\overline{TA}, respectivamente, de modo que PU=AG=1.PU = AG = 1. Sean MM y NN los puntos medios de los segmentos PA‾\overline{PA} y UG‾,\overline{UG}, respectivamente. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo agudo formado por las rectas MNMN y PAPA?
In △PAT,\triangle PAT, ∠P=36∘,\angle P = 36^\circ, ∠A=56∘,\angle A = 56^\circ, and PA=10.PA = 10. Points UU and GG lie on sides TP‾\overline{TP} and TA‾,\overline{TA}, respectively, so that PU=AG=1.PU = AG = 1. Let MM and NN be the midpoints of segments PA‾\overline{PA} and UG‾,\overline{UG}, respectively. What is the degree measure of the acute angle formed by lines MNMN and PA?PA?
7676
7777
7878
7979
8080
Respuesta: E
Conceptos:persecución de ángulospunto medioparalelogramo
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:
Extiende PNPN hasta QQ con PN=NQ;PN = NQ; entonces UPGQUPGQ es un paralelogramo, así que GQ∥PTGQ \parallel PT y GQ=PU=AGGQ = PU = AG
Extend PNPN to QQ with PN=NQ;PN = NQ; then UPGQUPGQ is a parallelogram, so GQ∥PTGQ \parallel PT and GQ=PU=AGGQ = PU = AG
Pista grande:
El triángulo QGAQGA es isósceles, y MNMN es una paralela media del triángulo QPA,QPA, así que ∠NMA=∠QAP\angle NMA = \angle QAP
Triangle QGAQGA is isosceles, and MNMN is a midline of triangle QPA,QPA, so ∠NMA=∠QAP\angle NMA = \angle QAP
Solución:
Extiende PNPN a través de NN hasta QQ con PN=NQ.PN = NQ. Como NN es el punto medio de UGUG y de PQ,PQ, el cuadrilátero UPGQUPGQ es un paralelogramo, así que GQ∥PTGQ \parallel PT y GQ=PU=1=AG.GQ = PU = 1 = AG. Entonces ∠QGA\angle QGA =180∘−∠T= 180^\circ - \angle T =∠P+∠A= \angle P + \angle A =36∘+56∘=92∘,= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ, y el triángulo isósceles QGAQGA da ∠QAG=12(180∘−92∘)=44∘.\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.
Como M,NM, N son puntos medios, MNMN es una paralela media del △QPA,\triangle QPA, así que MN∥AQMN \parallel AQ y ∠NMP=∠QAP=∠QAG+∠GAP=44∘+56∘=100∘. \begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned} El ángulo agudo entre la recta MNMN y PAPA es por lo tanto 180∘−100∘=80∘.180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Extend PNPN through NN to QQ with PN=NQ.PN = NQ. Since NN is the midpoint of UGUG and of PQ,PQ, the quadrilateral UPGQUPGQ is a parallelogram, so GQ∥PTGQ \parallel PT and GQ=PU=1=AG.GQ = PU = 1 = AG. Then ∠QGA\angle QGA =180∘−∠T= 180^\circ - \angle T =∠P+∠A= \angle P + \angle A =36∘+56∘=92∘,= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ, and the isosceles triangle QGAQGA gives ∠QAG=12(180∘−92∘)=44∘.\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.
Because M,NM, N are midpoints, MNMN is a midline of △QPA,\triangle QPA, so MN∥AQMN \parallel AQ and ∠NMP=∠QAP=∠QAG+∠GAP=44∘+56∘=100∘. \begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned} The acute angle between line MNMN and PAPA is therefore 180∘−100∘=80∘.180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.
Thus, the correct answer is E.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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