Question

El profesor Gamble compra un billete de lotería, que requiere que elija seis enteros distintos del $1$ al $46,$ inclusive. Elige sus números de modo que la suma de los logaritmos en base diez de sus seis números sea un entero. Resulta que los enteros del billete ganador tienen la misma propiedad: la suma de sus logaritmos en base diez es un entero. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor Gamble tenga el billete ganador?

Professor Gamble buys a lottery ticket, which requires that he pick six different integers from $1$ through $46,$ inclusive. He chooses his numbers so that the sum of the base-ten logarithms of his six numbers is an integer. It so happens that the integers on the winning ticket have the same property -- the sum of the base-ten logarithms is an integer. What is the probability that Professor Gamble holds the winning ticket?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo factorización en primos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

La suma de los logaritmos es un entero exactamente cuando el producto de los seis números es una potencia de $10$ .

The sum of logarithms is an integer exactly when the product of the six numbers is a power of $10$

Pista grande:

Solo pueden aparecer números de la forma $2^a 5^b$ ; equilibra el total de factores de $2$ y de $5$ .

Only numbers of the form $2^a 5^b$ can appear; balance the total factors of $2$ and $5$

Solución:

La suma de los logaritmos es un entero $k$ exactamente cuando el producto de los seis números es $10^k.$ Como $10 = 2 \cdot 5,$ cada número elegido debe tener la forma $2^a 5^b,$ así que debe pertenecer a $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

Para cada uno, registremos el exceso de factores de $2$ sobre factores de $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ El producto es una potencia de $10$ solo si los seis valores elegidos tienen el mismo total de factores $2$ y $5$ , es decir, si los excesos suman $0.$

Los únicos excesos negativos son $-1$ para $5$ y $-2$ para $25.$ Un billete de seis números con exceso total $0$ debe contener ambos; si faltara uno, no habría suficientes ceros y excesos positivos pequeños para completar seis números. Los otros cuatro números deben sumar un exceso de $3.$ Hay dos números con exceso $0$ ( $1,10$ ), dos con exceso $1$ ( $2,20$ ) y dos con exceso $2$ ( $4,40$ ); cualquier exceso de al menos $3$ dejaría muy pocos ceros para completar cuatro números. Debemos tomar ambos números de exceso $0$ , uno de exceso $1$ y uno de exceso $2$ . Esto da exactamente cuatro billetes válidos: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ y $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

El profesor Gamble tiene uno de estos cuatro, y solo uno coincide con el billete ganador, por lo que la probabilidad es $\dfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum of the logarithms is an integer $k$ exactly when the product of the six numbers is $10^k.$ Since $10 = 2 \cdot 5,$ each chosen number must be of the form $2^a 5^b,$ so it comes from $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

For each, record the excess of factors of $2$ over factors of $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ The product is a power of $10$ only if the six chosen values have equal totals of $2$ s and $5$ s, i.e. their excesses sum to $0.$

The only negative excesses are $-1$ for $5$ and $-2$ for $25.$ A six-number ticket with total excess $0$ must contain both: omitting either leaves too few zero and small positive excesses to reach six numbers. The other four numbers must therefore have total excess $3.$ There are two numbers of excess $0$ ( $1,10$ ), two of excess $1$ ( $2,20$ ), and two of excess $2$ ( $4,40$ ); any number of excess at least $3$ would leave too few zeros to complete a four-number selection. Thus we must take both excess- $0$ numbers, one excess- $1$ number, and one excess- $2$ number. This gives exactly four valid tickets: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ and $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

Professor Gamble holds one of these four, and only one matches the winning ticket, so the probability is $\dfrac14.$

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 12 Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años