Question

El profesor Gamble compra un billete de lotería, que requiere que elija seis enteros distintos del $1$ al $46,$ inclusive. Elige sus números de modo que la suma de los logaritmos en base diez de sus seis números sea un entero. Resulta que los enteros del billete ganador tienen la misma propiedad: la suma de sus logaritmos en base diez es un entero. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor Gamble tenga el billete ganador?

Professor Gamble buys a lottery ticket, which requires that he pick six different integers from $1$ through $46,$ inclusive. He chooses his numbers so that the sum of the base-ten logarithms of his six numbers is an integer. It so happens that the integers on the winning ticket have the same property -- the sum of the base-ten logarithms is an integer. What is the probability that Professor Gamble holds the winning ticket?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

Solución:

La suma de los logaritmos es un entero $k$ exactamente cuando el producto de los seis números es $10^k.$ Como $10 = 2 \cdot 5,$ cada número elegido debe ser de la forma $2^a 5^b,$ así que proviene de $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

Para cada uno, registra el exceso de factores de $2$ sobre factores de $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ El producto es una potencia de $10$ solo si los seis valores elegidos tienen totales iguales de $2$ y de $5$ , es decir, sus excesos suman $0.$

Al recorrer las posibilidades, existen exactamente cuatro billetes válidos: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ y $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

El profesor Gamble tiene uno de estos cuatro, y solo uno coincide con el billete ganador, así que la probabilidad es $\dfrac14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum of the logarithms is an integer $k$ exactly when the product of the six numbers is $10^k.$ Since $10 = 2 \cdot 5,$ each chosen number must be of the form $2^a 5^b,$ so it comes from $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

For each, record the excess of factors of $2$ over factors of $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ The product is a power of $10$ only if the six chosen values have equal totals of $2$ s and $5$ s, i.e. their excesses sum to $0.$

Working through the possibilities, exactly four valid tickets exist: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ and $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

Professor Gamble holds one of these four, and only one matches the winning ticket, so the probability is $\dfrac14.$

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 12 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años