Question

$ABCD$ es un cuadrado de lado $\sqrt{3} + 1.$ El punto $P$ está en $\overline{AC}$ tal que $AP = \sqrt{2}.$ La región cuadrada delimitada por $ABCD$ se rota $90^\circ$ en sentido antihorario con centro $P,$ barriendo una región cuya área es $\dfrac{1}{c}(a\pi + b),$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $\gcd(a, b, c) = 1.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

$ABCD$ is a square of side length $\sqrt{3} + 1.$ Point $P$ is on $\overline{AC}$ such that $AP = \sqrt{2}.$ The square region bounded by $ABCD$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise with center $P,$ sweeping out a region whose area is $\dfrac{1}{c}(a\pi + b),$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

Respuesta: C

Conceptos:transformación sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Rastrea las imágenes $A', B', C', D';$ la región barrida son cuatro sectores circulares más cuatro triángulos

Track the images $A', B', C', D';$ the swept region is four circular sectors plus four triangles

Pista grande:

$AP = \sqrt{2}$ y $PC = \sqrt{6}$ dan los radios de los sectores, y $\triangle BPH$ es un triángulo de $30$ – $60$ – $90.$

$AP = \sqrt{2}$ and $PC = \sqrt{6}$ give the sector radii, and $\triangle BPH$ is a $30$ – $60$ – $90$ triangle

Solución:

Sean $A', B', C', D'$ las imágenes de los vértices bajo la rotación. La región barrida se descompone en cuatro sectores circulares y cuatro triángulos.

Como $AP = \sqrt{2}$ y $PC = AC - AP = \sqrt{6},$ los sectores en $A$ y $C$ tienen áreas $\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{3\pi}{2}.$ Si $H$ es el punto medio de $AA',$ entonces $PH=AH=1$ y $HB=\sqrt3,$ así que $\triangle BPH$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ y $PB=2.$ Por tanto, los dos sectores de $60^\circ$ a lo largo de $BC$ tienen área $\frac{2\pi}{3}$ cada uno. Los dos triángulos de altura $PH$ aportan $\sqrt3-1,$ y el otro par congruente tiene altura $\sqrt3$ y aporta $3-\sqrt3.$ Así, los cuatro triángulos aportan $2.$

El área total es $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ por lo que $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $A', B', C', D'$ be the images of the vertices under the rotation. The swept region decomposes into four circular sectors and four triangles.

Since $AP = \sqrt{2}$ and $PC = AC - AP = \sqrt{6},$ the sectors at $A$ and $C$ have areas $\tfrac{\pi}{2}$ and $\tfrac{3\pi}{2}.$ If $H$ is the midpoint of $AA',$ then $PH=AH=1$ and $HB=\sqrt3,$ so $\triangle BPH$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle and $PB=2.$ Hence the two $60^\circ$ sectors along $BC$ each have area $\frac{2\pi}{3}.$ The two triangles with altitude $PH$ contribute $\sqrt3-1,$ and the other congruent pair has altitude $\sqrt3$ and contributes $3-\sqrt3.$ Thus the four triangles contribute $2.$

The total area is $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ so $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.$

Thus, the correct answer is C.

2013 AMC 12A Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años