Question

Las funciones $f$ y $g$ son cuadráticas, $g(x) = -f(100 - x),$ y la gráfica de $g$ contiene el vértice de la gráfica de $f.$ Las cuatro intersecciones con el eje $x$ en las dos gráficas tienen coordenadas $x$ iguales a $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ y $x_4,$ en orden creciente, y $x_3 - x_2 = 150.$ El valor de $x_4 - x_1$ es $m + n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Functions $f$ and $g$ are quadratic, $g(x) = -f(100 - x),$ and the graph of $g$ contains the vertex of the graph of $f.$ The four $x$ -intercepts on the two graphs have $x$ -coordinates $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ and $x_4,$ in increasing order, and $x_3 - x_2 = 150.$ The value of $x_4 - x_1$ is $m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$602$

$652$

$702$

$752$

$802$

Solución:

Como $g(x) = -f(100 - x),$ las gráficas de $f$ y $g$ son reflexiones una de otra a través del punto $(50, 0),$ así que las cuatro intersecciones se emparejan con $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.$

Con $x_3 - x_2 = 150,$ obtenemos $x_2 = -25$ y $x_3 = 125.$

Toma $x_1, x_3$ como las raíces de $f,$ cuyo vértice tiene coordenada $x$ igual a $h = \dfrac{x_1 + x_3}{2},$ así que $x_1 = 2h - 125.$ La condición de que el vértice de $f$ esté sobre la gráfica de $g$ da $\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}$ que se resuelve a $h = -25 - 75\sqrt{2}.$

Entonces $x_4 = 100 - x_1,$ así que $\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}$ Por lo tanto $m + n + p = 450 + 300 + 2$ $= 752.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $g(x) = -f(100 - x),$ the graphs of $f$ and $g$ are reflections of each other through the point $(50, 0),$ so the four intercepts pair up with $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.$

With $x_3 - x_2 = 150,$ we get $x_2 = -25$ and $x_3 = 125.$

Take $x_1, x_3$ as the roots of $f,$ whose vertex has $x$ -coordinate $h = \dfrac{x_1 + x_3}{2},$ so $x_1 = 2h - 125.$ The condition that the vertex of $f$ lies on the graph of $g$ gives $\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}$ which solves to $h = -25 - 75\sqrt{2}.$

Then $x_4 = 100 - x_1,$ so $\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}$ Hence $m + n + p = 450 + 300 + 2$ $= 752.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años