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2009 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2009 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2009 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Las funciones ff y gg son cuadráticas, g(x)=−f(100−x),g(x) = -f(100 - x), y la gráfica de gg contiene el vértice de la gráfica de f.f. Las cuatro intersecciones con el eje xx en las dos gráficas tienen coordenadas xx iguales a x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, y x4,x_4, en orden creciente, y x3−x2=150.x_3 - x_2 = 150. El valor de x4−x1x_4 - x_1 es m+np,m + n\sqrt{p}, donde m,m, n,n, y pp son enteros positivos, y pp no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale m+n+pm + n + p?

Functions ff and gg are quadratic, g(x)=−f(100−x),g(x) = -f(100 - x), and the graph of gg contains the vertex of the graph of f.f. The four xx-intercepts on the two graphs have xx-coordinates x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, and x4,x_4, in increasing order, and x3−x2=150.x_3 - x_2 = 150. The value of x4−x1x_4 - x_1 is m+np,m + n\sqrt{p}, where m,m, n,n, and pp are positive integers, and pp is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?m + n + p?

602602

652652

702702

752752

802802

Respuesta: D
Conceptos:cuadráticaparábolasimetría
Nivel de dificultad: 2420
Pista pequeña:

La aplicación (x,y)↦(100−x,−y)(x, y) \mapsto (100 - x, -y) es una rotación de 180∘180^\circ alrededor de (50,0)(50, 0) que envía la gráfica de ff a la gráfica de gg.

The map (x,y)↦(100−x,−y)(x, y) \mapsto (100 - x, -y) is a 180∘180^\circ rotation about (50,0)(50, 0) that sends the graph of ff to the graph of gg

Pista grande:

Así que las raíces se emparejan como x2+x3=x1+x4=100;x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100; con x3−x2=150,x_3 - x_2 = 150, halla x2,x3x_2, x_3 y usa la condición del vértice.

So the roots pair as x2+x3=x1+x4=100;x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100; with x3−x2=150,x_3 - x_2 = 150, find x2,x3x_2, x_3 and use the vertex condition

Solución:

Como g(x)=−f(100−x),g(x) = -f(100 - x), las gráficas de ff y gg son reflexiones una de otra a través del punto (50,0),(50, 0), así que las cuatro intersecciones se emparejan con x2+x3=x1+x4=100.x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.

Con x3−x2=150,x_3 - x_2 = 150, obtenemos x2=−25x_2 = -25 y x3=125.x_3 = 125.

Toma x1,x3x_1, x_3 como las raíces de f,f, cuyo vértice tiene coordenada xx igual a h=x1+x32,h = \dfrac{x_1 + x_3}{2}, así que x1=2h−125.x_1 = 2h - 125. La condición de que el vértice de ff esté sobre la gráfica de gg da 1=f(h)g(h)=(125−h)(h−125)−(h+25)(3h−225), \begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned} lo que da h=−25±752.h = -25 \pm 75\sqrt{2}. Como x1=2h−125x_1 = 2h-125 debe ser menor que x2=−25,x_2=-25, necesitamos h<50,h \lt 50, así que h=−25−752.h = -25-75\sqrt{2}.

Entonces x4=100−x1,x_4 = 100 - x_1, así que x4−x1=350−4h=450+3002. \begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned} Por lo tanto m+n+p=450+300+2m + n + p = 450 + 300 + 2 =752.= 752.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because g(x)=−f(100−x),g(x) = -f(100 - x), the graphs of ff and gg are reflections of each other through the point (50,0),(50, 0), so the four intercepts pair up with x2+x3=x1+x4=100.x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.

With x3−x2=150,x_3 - x_2 = 150, we get x2=−25x_2 = -25 and x3=125.x_3 = 125.

Take x1,x3x_1, x_3 as the roots of f,f, whose vertex has xx-coordinate h=x1+x32,h = \dfrac{x_1 + x_3}{2}, so x1=2h−125.x_1 = 2h - 125. The condition that the vertex of ff lies on the graph of gg gives 1=f(h)g(h)=(125−h)(h−125)−(h+25)(3h−225), \begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned} which gives h=−25±752.h = -25 \pm 75\sqrt{2}. Since x1=2h−125x_1 = 2h-125 must be less than x2=−25,x_2=-25, we need h<50,h \lt 50, so h=−25−752.h = -25-75\sqrt{2}.

Then x4=100−x1,x_4 = 100 - x_1, so x4−x1=350−4h=450+3002. \begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned} Hence m+n+p=450+300+2m + n + p = 450 + 300 + 2 =752.= 752.

Thus, the correct answer is D.

Problema 22#22
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Problema 24#24

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