Question

¿Cuántos pares ordenados de números reales positivos $(a,b)$ satisfacen la ecuación $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}$

How many ordered pairs of positive real numbers $(a,b)$ satisfy the equation $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}$

$0$

$1$

$2$

$3$

un número infinito

an infinite number

Solución:

Por AM-GM, $1+2a\ge 2\sqrt{2a},$ $2+2b\ge 4\sqrt{b},$ y $2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.$ Multiplicando, $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}$

La igualdad requiere $1=2a,$ $2=2b,$ y $2a=b$ simultáneamente. Estas dan $a=\tfrac12,$ $b=1,$ que son consistentes, así que hay exactamente una solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By AM-GM, $1+2a\ge 2\sqrt{2a},$ $2+2b\ge 4\sqrt{b},$ and $2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.$ Multiplying, $\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}$

Equality requires $1=2a,$ $2=2b,$ and $2a=b$ simultaneously. These give $a=\tfrac12,$ $b=1,$ which are consistent, so there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años