Question

¿Cuántos enteros $n \ge 2$ tienen la propiedad de que, siempre que $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ sean números complejos tales que $|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1$ y $z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,$ entonces $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ están igualmente espaciados en la circunferencia unitaria del plano complejo?

How many integers $n \ge 2$ are there such that whenever $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ are complex numbers such that $|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1$ and $z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,$ then the numbers $z_1,$ $z_2,$ $\ldots,$ $z_n$ are equally spaced on the unit circle in the complex plane?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:raíces de la unidad número complejo contraejemplo

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Revisa casos pequeños: $n = 2$ fuerza puntos antipodales y $n = 3$ fuerza un triángulo equilátero.

Check small cases: $n = 2$ forces antipodal points and $n = 3$ forces an equilateral triangle

Pista grande:

Para $n \ge 4,$ construye un contraejemplo combinando una configuración balanceada más pequeña con un par antipodal.

For $n \ge 4,$ build a counterexample by combining a smaller balanced configuration with an antipodal pair

Solución:

Para $n = 2,$ $z_1 + z_2 = 0$ fuerza $z_2 = -z_1,$ que está igualmente espaciado. Para $n = 3,$ tres vectores unitarios que suman cero deben formar un triángulo equilátero, así que están igualmente espaciados.

Para todo entero par $n\ge4,$ elige $\frac{n}{2}$ pares antipodales en ángulos genéricos que no formen un $n$ -gono regular. Para todo entero impar $n\ge5,$ elige los vértices de un triángulo equilátero junto con $\frac{n-3}{2}$ pares antipodales genéricos. Cada construcción tiene suma $0$ pero sus puntos no están igualmente espaciados.

Por lo tanto, solo $n = 2$ y $n = 3$ funcionan, dando $2$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $n = 2,$ $z_1 + z_2 = 0$ forces $z_2 = -z_1,$ which is equally spaced. For $n = 3,$ three unit vectors summing to zero must form an equilateral triangle, so they are equally spaced.

For every even $n\ge4,$ choose $\frac{n}{2}$ antipodal pairs at generic angles that do not form a regular $n$ -gon. For every odd $n\ge5,$ choose the vertices of an equilateral triangle together with $\frac{n-3}{2}$ generic antipodal pairs. Each construction has sum $0$ but is not equally spaced.

Hence only $n = 2$ and $n = 3$ work, giving $2$ values.

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 12B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años