Question

Sea $S$ el cuadrado una de cuyas diagonales tiene extremos $(0.1, 0.7)$ y $(-0.1, -0.7).$ Se elige un punto $v = (x, y)$ de forma uniforme al azar entre todos los pares de números reales $x$ y $y$ tales que $0 \le x \le 2012$ y $0 \le y \le 2012.$ Sea $T(v)$ una copia trasladada de $S$ centrada en $v.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la región cuadrada determinada por $T(v)$ contenga exactamente dos puntos de coordenadas enteras en su interior?

Let $S$ be the square one of whose diagonals has endpoints $(0.1, 0.7)$ and $(-0.1, -0.7).$ A point $v = (x, y)$ is chosen uniformly at random over all pairs of real numbers $x$ and $y$ such that $0 \le x \le 2012$ and $0 \le y \le 2012.$ Let $T(v)$ be a translated copy of $S$ centered at $v.$ What is the probability that the square region determined by $T(v)$ contains exactly two points with integer coordinates in its interior?

$0.125$

$0.14$

$0.16$

$0.25$

$0.32$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica punto reticular área

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

El cuadrado $S$ tiene diagonales de longitud $\sqrt2$ y área $1;$ por periodicidad, redúcelo a una celda unitaria de la retícula

The square $S$ has diagonals of length $\sqrt2$ and area $1;$ by periodicity, reduce to one unit cell of the lattice

Pista grande:

$T(v)$ contiene un punto de la retícula exactamente cuando $v$ está en la copia de $S$ centrada allí; contener dos requiere que $v$ esté en el solapamiento de copias centradas en puntos adyacentes de la retícula

$T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies in the copy of $S$ centered there; containing two requires $v$ in the overlap of copies centered at adjacent lattice points

Solución:

La diagonal de $(0.1, 0.7)$ a $(-0.1, -0.7)$ mide $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ así que $S$ es un cuadrado de área $1.$ La traslación $T(v)$ contiene un punto de la retícula exactamente cuando $v$ está dentro de la copia de $S$ centrada en ese punto.

Contener exactamente dos puntos interiores de la retícula exige que $v$ esté en la intersección de dos copias centradas en puntos adyacentes. Por periodicidad, la respuesta es el área total de esas intersecciones dentro de una celda unitaria.

Consideremos las copias centradas en $(0,0)$ y $(1,0).$ Su intersección es un rectángulo. Un giro de un cuarto de vuelta de la semidiagonal dada produce los vértices pertinentes $(0.7,-0.1)$ y $(0.3,0.1).$ Siguiendo los dos pares de lados paralelos hasta sus intersecciones, se obtienen longitudes $0.4$ y $0.2,$ por lo que el área de intersección es $0.08.$ Las copias con centros diagonales no se superponen, y las adyacencias horizontales y verticales contribuyen por igual. Al considerar los bordes de la celda, la probabilidad es $2\cdot0.08=0.16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonal from $(0.1, 0.7)$ to $(-0.1, -0.7)$ has length $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ so $S$ is a square of area $1.$ The translate $T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies inside the copy of $S$ centered at that point.

Containing exactly two interior lattice points requires $v$ to lie in the overlap of two copies centered at adjacent lattice points. By periodicity the answer is the total such overlap area within one unit cell.

Consider copies centered at $(0,0)$ and $(1,0).$ Their overlap is a rectangle. A quarter-turn of the listed half-diagonal gives the relevant vertices $(0.7,-0.1)$ and $(0.3,0.1).$ Following the two pairs of parallel sides through their intersections gives side lengths $0.4$ and $0.2,$ so the overlap area is $0.08.$ Diagonally centered copies do not overlap, and horizontal and vertical adjacencies contribute equally. Accounting for the cell boundaries gives probability $2\cdot0.08=0.16.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años