Question

Sea $S$ el cuadrado una de cuyas diagonales tiene extremos $(0.1, 0.7)$ y $(-0.1, -0.7).$ Se elige un punto $v = (x, y)$ de forma uniforme al azar entre todos los pares de números reales $x$ y $y$ tales que $0 \le x \le 2012$ y $0 \le y \le 2012.$ Sea $T(v)$ una copia trasladada de $S$ centrada en $v.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la región cuadrada determinada por $T(v)$ contenga exactamente dos puntos de coordenadas enteras en su interior?

Let $S$ be the square one of whose diagonals has endpoints $(0.1, 0.7)$ and $(-0.1, -0.7).$ A point $v = (x, y)$ is chosen uniformly at random over all pairs of real numbers $x$ and $y$ such that $0 \le x \le 2012$ and $0 \le y \le 2012.$ Let $T(v)$ be a translated copy of $S$ centered at $v.$ What is the probability that the square region determined by $T(v)$ contains exactly two points with integer coordinates in its interior?

$0.125$

$0.14$

$0.16$

$0.25$

$0.32$

Solución:

La diagonal desde $(0.1, 0.7)$ hasta $(-0.1, -0.7)$ tiene longitud $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ así que $S$ es un cuadrado de área $1.$ La traslación $T(v)$ contiene un punto de la retícula exactamente cuando $v$ está dentro de la copia de $S$ centrada en ese punto.

Contener exactamente dos puntos de la retícula en el interior requiere que $v$ esté en el solapamiento de dos copias centradas en puntos adyacentes de la retícula. Por periodicidad, la respuesta es el área total de ese solapamiento dentro de una celda unitaria.

El solapamiento de dos copias de área uno cuyos centros distan una unidad tiene área $0.08.$ Sumando sobre las adyacencias horizontal y vertical se obtiene probabilidad $2 \cdot 0.08 = 0.16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonal from $(0.1, 0.7)$ to $(-0.1, -0.7)$ has length $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ so $S$ is a square of area $1.$ The translate $T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies inside the copy of $S$ centered at that point.

Containing exactly two interior lattice points requires $v$ to lie in the overlap of two copies centered at adjacent lattice points. By periodicity the answer is the total such overlap area within one unit cell.

The overlap of two unit-area copies whose centers are one unit apart has area $0.08.$ Summing over the horizontal and vertical adjacencies gives probability $2 \cdot 0.08 = 0.16.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años