Question

Sea $S$ el conjunto de las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de números reales para las que $\log_{10}(x + y) = z$ y $\log_{10}(x^2 + y^2) = z + 1.$ Existen números reales $a$ y $b$ tales que para todas las ternas ordenadas $(x, y, z)$ de $S$ se tiene $x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}.$ ¿Cuál es el valor de $a + b$ ?

Let $S$ be the set of ordered triples $(x, y, z)$ of real numbers for which $\log_{10}(x + y) = z$ and $\log_{10}(x^2 + y^2) = z + 1.$ There are real numbers $a$ and $b$ such that for all ordered triples $(x, y, z)$ in $S$ we have $x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}.$ What is the value of $a + b?$

$\dfrac{15}{2}$

$\dfrac{29}{2}$

$15$

$\dfrac{39}{2}$

$24$

Solución:

Las condiciones dan $x + y = 10^z$ y $x^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z.$ Entonces $\begin{aligned} &2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) \\ &= 10^{2z} - 10 \cdot 10^z, \end{aligned}$ así que $xy = \dfrac12\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right).$

Usando $x^3 + y^3$ $= (x+y)^3 - 3xy(x+y),$ $\begin{aligned} &x^3 + y^3 = 10^{3z} \\ &\quad {}- \dfrac32\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)10^z \\ &= -\dfrac12 \cdot 10^{3z} + 15 \cdot 10^{2z}. \end{aligned}$

Así que $a = -\dfrac12$ y $b = 15,$ lo que da $a + b = \dfrac{29}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The conditions give $x + y = 10^z$ and $x^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z.$ Then $\begin{aligned} &2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) \\ &= 10^{2z} - 10 \cdot 10^z, \end{aligned}$ so $xy = \dfrac12\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right).$

Using $x^3 + y^3$ $= (x+y)^3 - 3xy(x+y),$ $\begin{aligned} &x^3 + y^3 = 10^{3z} \\ &\quad {}- \dfrac32\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)10^z \\ &= -\dfrac12 \cdot 10^{3z} + 15 \cdot 10^{2z}. \end{aligned}$

So $a = -\dfrac12$ and $b = 15,$ giving $a + b = \dfrac{29}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años