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2022 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2022 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Sean hnh_n y knk_n los únicos enteros positivos primos entre sí tales que
11+12+13+⋯+1n=hnkn.\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.
Sea LnL_n el mínimo común múltiplo de los números 1,1, 2,2, 3,3, …,\ldots, n.n. ¿Para cuántos enteros nn con 1≤n≤221\le n\le22 se cumple kn<Lnk_n\lt L_n?
Let hnh_n and knk_n be the unique relatively prime positive integers such that
11+12+13+⋯+1n=hnkn.\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.
Let LnL_n denote the least common multiple of the numbers 1,1, 2,2, 3,3, …,\ldots, n.n. For how many integers nn with 1≤n≤221\le n\le22 is kn<Ln?k_n\lt L_n?
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77
88
1010
Respuesta: D
Conceptos:mínimo común múltiplofactorización en primosaritmética modular
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
Escribiendo HnH_n sobre Ln,L_n, el denominador reducido es menor exactamente cuando un primo se cancela del numerador ∑kLnk\sum_k \frac{L_n}{k}
Writing HnH_n over Ln,L_n, the reduced denominator is smaller exactly when a prime cancels from the numerator ∑kLnk\sum_k \frac{L_n}{k}
Pista grande:
Para una potencia de primo pap^a con pa≤n<pa+1,p^a\le n\lt p^{a+1}, verifica si pp divide a ∑vp(k)=aLnk\sum_{v_p(k)=a} \frac{L_n}{k}
For a prime power pap^a with pa≤n<pa+1,p^a\le n\lt p^{a+1}, check whether pp divides ∑vp(k)=aLnk\sum_{v_p(k)=a} \frac{L_n}{k}
Solución:
LnL_n siempre es divisible por kn,k_n, así que kn<Lnk_n\lt L_n exactamente cuando algún primo pp divide tanto a LnL_n como al numerador N=∑k=1nLnkN=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k} (es decir, se cancela un primo).
Para un primo pp con potencia máxima pa≤n,p^a\le n, solo los términos con vp(k)=av_p(k)=a mantienen a pp fuera de Lnk;\frac{L_n}{k}; todos los demás son divisibles entre p.p. Por tanto, pp se cancela si y solo si ∑vp(k)=aLnk≡0(modp).\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.
Aplicando esta prueba recursivamente con Hn=Hn−1+1nH_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}, obtenemos kn=Lnk_n=L_n para 1≤n≤5,1\le n\le5, kn=Ln3k_n=\frac{L_n}{3} para 6≤n≤8,6\le n\le8, y de nuevo kn=Lnk_n=L_n para 9≤n≤17.9\le n\le17. Finalmente, las razones Lnkn\frac{L_n}{k_n} para n=18,19,20,21,22n=18,19,20,21,22 son 3,3,15,45,45,3,3,15,45,45, respectivamente. Así, la cancelación ocurre precisamente para n=6,7,8,18,19,20,21,22,n=6,7,8,18,19,20,21,22, que son 88 valores.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
LnL_n is always divisible by kn,k_n, so kn<Lnk_n\lt L_n exactly when some prime pp divides both LnL_n and the numerator N=∑k=1nLnkN=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k} (i.e. a prime cancels).
For a prime pp with maximal power pa≤n,p^a\le n, only the terms with vp(k)=av_p(k)=a keep pp out of Lnk;\frac{L_n}{k}; all others are divisible by p.p. So pp cancels iff ∑vp(k)=aLnk≡0(modp).\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.
Applying this test recursively with Hn=Hn−1+1nH_n=H_{n-1}+\frac{1}{n} gives kn=Lnk_n=L_n for 1≤n≤5,1\le n\le5, kn=Ln3k_n=\frac{L_n}{3} for 6≤n≤8,6\le n\le8, and kn=Lnk_n=L_n again for 9≤n≤17.9\le n\le17. Finally, the ratios Lnkn\frac{L_n}{k_n} for n=18,19,20,21,22n=18,19,20,21,22 are 3,3,15,45,45,3,3,15,45,45, respectively. Thus cancellation occurs precisely for n=6,7,8,18,19,20,21,22,n=6,7,8,18,19,20,21,22, which is 88 values.
Thus, the correct answer is D.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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