Question

Las gráficas de $x^2+y^2=4+12x+6y$ y $x^2+y^2=k+4x+12y$ se intersecan cuando $k$ satisface $a\le k\le b,$ y para ningún otro valor de $k.$ Halla $b-a.$

The graphs of $x^2+y^2=4+12x+6y$ and $x^2+y^2=k+4x+12y$ intersect when $k$ satisfies $a\le k\le b,$ and for no other values of $k.$ Find $b-a.$

$5$

$68$

$104$

$140$

$144$

Respuesta: D

Conceptos:circles completar el cuadrado intersection

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Completa cuadrados para hallar los centros y los radios de ambos círculos

Complete the square to find both circle centers and radii

Pista grande:

Dos círculos se intersecan exactamente cuando la distancia entre sus centros está entre la diferencia y la suma de sus radios

Two circles intersect exactly when the center distance lies between the difference and sum of their radii

Solución:

Los círculos son $(x-6)^2+(y-3)^2=49,$ $(x-2)^2+(y-6)^2=k+40.$ Sus centros están a $5$ unidades de distancia. Si el segundo radio es $r=\sqrt{k+40},$ la intersección exige $|7-r|\le5\le7+r,$ o sea, $2\le r\le12.$ Por tanto, $-36\le k\le104,$ y $b-a=140.$ La respuesta correcta es D.

The circles are $(x-6)^2+(y-3)^2=49,$ $(x-2)^2+(y-6)^2=k+40.$ Their centers are $5$ units apart. With second radius $r=\sqrt{k+40},$ intersection requires $|7-r|\le5\le7+r,$ or $2\le r\le12.$ Thus $-36\le k\le104,$ and $b-a=140.$ The correct answer is D.

1998 AMC 12 Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años