1998 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Cada lado de cinco rectángulos congruentes está marcado con un entero, como se muestra. Los cinco rectángulos se colocan, sin girarlos ni reflejarlos, en las posiciones $I$ a $V$ , de modo que las etiquetas de los lados coincidentes sean iguales. ¿Cuál de los rectángulos ocupa la posición $I$ ?

Each of the sides of five congruent rectangles is labeled with an integer, as shown. These five rectangles are placed, without rotating or reflecting, in positions $I$ through $V$ so that the labels on coincident sides are equal. Which of the rectangles is in position $I?$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Respuesta: E

Conceptos:logic edge matching

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

El rectángulo de la posición $II$ debe coincidir con otro rectángulo por cada uno de sus dos lados verticales

The rectangle in position $II$ must match another rectangle on both vertical sides

Pista grande:

Después de hallar la posición $II$ , empareja su etiqueta izquierda con la etiqueta derecha de la posición $I$

After finding position $II$ , match its left label to the right label of position $I$

Solución:

La etiqueta izquierda y la derecha de la posición $II$ deben aparecer, respectivamente, como etiqueta derecha e izquierda de otros dos rectángulos. Solo $D,$ con etiquetas laterales $7$ y $4,$ permite ambas coincidencias: $E$ tiene etiqueta derecha $7,$ y $A$ tiene etiqueta izquierda $4.$ Por tanto, la posición $I$ contiene $E,$ así que la respuesta correcta es E.

Position $II$ needs both its left and right labels to occur as right and left labels, respectively, on two other rectangles. Only $D,$ with side labels $7$ and $4,$ permits both matches: $E$ has right label $7,$ and $A$ has left label $4.$ Hence position $I$ contains $E,$ so the correct answer is E.

2.

Las letras $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ representan cuatro cifras distintas elegidas entre $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9.$ Si $\frac{A+B}{C+D}$ es un entero tan grande como sea posible, ¿cuál es el valor de $A+B$ ?

Letters $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ represent four different digits selected from $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9.$ If $\frac{A+B}{C+D}$ is an integer that is as large as possible, what is the value of $A+B?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: E

Conceptos:dígitos optimización ratios

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Haz el denominador tan pequeño como sea posible usando cifras distintas

Make the denominator as small as possible using distinct digits

Pista grande:

Las dos cifras menores y las dos mayores forman pares disjuntos

The two smallest digits and the two largest digits are disjoint pairs

Solución:

El menor denominador positivo es $0+1=1,$ y el mayor numerador que usa otras dos cifras es $8+9=17.$ Su cociente es el entero $17,$ que es claramente máximo. Por tanto, $A+B=17,$ y la respuesta correcta es E.

The least positive denominator is $0+1=1,$ and the greatest numerator using two other digits is $8+9=17.$ Their ratio is the integer $17,$ which is plainly maximal. Thus $A+B=17,$ and E is correct.

3.

Si $a,$ $b,$ y $c$ son cifras tales que $\begin{array}{r} 7a2\\ {}-48b\\ \hline c73 \end{array}$ entonces $a+b+c=$

If $a,$ $b,$ and $c$ are digits for which $\begin{array}{r} 7a2\\ {}-48b\\ \hline c73 \end{array}$ then $a+b+c=$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Respuesta: D

Conceptos:subtraction valor posicional dígitos

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

La columna de las unidades exige pedir prestado a la columna de las decenas

The units column must borrow from the tens column

Pista grande:

Continúa los préstamos por las columnas de las decenas y de las centenas

Continue the borrowing through the tens and hundreds columns

Solución:

La columna de las unidades da $12-b=3,$ por lo que $b=9.$ En la columna de las decenas, $a-1$ debe pedir prestado, y $a-1+10-8=7,$ de donde $a=6.$ La columna de las centenas da entonces $7-1-4=c=2.$ Por tanto, $a+b+c=6+9+2=17,$ así que la respuesta correcta es D.

The units column gives $12-b=3,$ so $b=9.$ In the tens column, $a-1$ must borrow, and $a-1+10-8=7,$ giving $a=6.$ The hundreds column then gives $7-1-4=c=2.$ Therefore $a+b+c=6+9+2=17,$ so D is correct.

4.

Se define $[a,b,c]$ como $\frac{a+b}{c},$ donde $c\ne0.$ ¿Cuál es el valor de $[[60,30,90],[2,1,3],[10,5,15]]?$

Define $[a,b,c]$ to mean $\frac{a+b}{c},$ where $c\ne0.$ What is the value of $[[60,30,90],[2,1,3],[10,5,15]]?$

$0$

$0.5$

$1$

$1.5$

$2$

Respuesta: E

Conceptos:defined operations sustitución

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Evalúa primero cada uno de los tres corchetes interiores

Evaluate each of the three inner brackets first

Pista grande:

Los tres corchetes interiores tienen el mismo valor

All three inner brackets have the same value

Solución:

Cada valor interior es $1:$ $\frac{90}{90}=1,\frac{3}{3}=1,$ y $\frac{15}{15}=1.$ Por tanto, la expresión exterior es $[1,1,1]=\frac{1+1}{1}=2.$ La respuesta correcta es E.

Each inner value is $1:$ $\frac{90}{90}=1,\frac{3}{3}=1,$ and $\frac{15}{15}=1.$ Thus the outer expression is $[1,1,1]=\frac{1+1}{1}=2.$ The correct answer is E.

5.

Si $2^{1998}-2^{1997}$ ${}-2^{1996}+2^{1995}$ $=k\cdot2^{1995},$ ¿cuál es el valor de $k$ ?

If $2^{1998}-2^{1997}$ ${}-2^{1996}+2^{1995}$ $=k\cdot2^{1995},$ what is the value of $k?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:exponents factorización

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Saca como factor común la menor potencia de $2$

Factor out the smallest power of $2$

Pista grande:

El coeficiente restante es $2^3-2^2-2+1$

The remaining coefficient is $2^3-2^2-2+1$

Solución:

Al factorizar se obtiene $2^{1995}(8-4-2+1)=3\cdot2^{1995}.$ Por tanto, $k=3,$ así que la respuesta correcta es C.

Factoring gives $2^{1995}(8-4-2+1)=3\cdot2^{1995}.$ Hence $k=3,$ so C is correct.

6.

Si $1998$ se escribe como producto de dos enteros positivos cuya diferencia sea tan pequeña como sea posible, entonces la diferencia es

If $1998$ is written as a product of two positive integers whose difference is as small as possible, then the difference is

$8$

$15$

$17$

$47$

$93$

Respuesta: C

Conceptos:factorization optimización

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Factoriza $1998$ y busca divisores cercanos a su raíz cuadrada

Factor $1998$ and look for divisors near its square root

Pista grande:

El par de factores más próximo contiene $37$ y el factor restante

The closest factor pair is formed from $37$ and the remaining factor

Solución:

Como $1998=2\cdot3^3\cdot37,$ el par de factores más cercano a $\sqrt{1998}$ es $37\cdot54.$ Su diferencia es $54-37=17,$ así que la respuesta correcta es C.

Since $1998=2\cdot3^3\cdot37,$ its factor pair nearest $\sqrt{1998}$ is $37\cdot54.$ Their difference is $54-37=17,$ so C is correct.

7.

Si $N\gt1,$ entonces $\sqrt[3]{N\sqrt[3]{N\sqrt[3]{N}}}=$

If $N\gt1,$ then $\sqrt[3]{N\sqrt[3]{N\sqrt[3]{N}}}=$

$N^{\frac{1}{27}}$

$N^{\frac{1}{9}}$

$N^{\frac{1}{3}}$

$N^{\frac{13}{27}}$

$N$

Respuesta: D

Conceptos:radicals rational exponents

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Comienza con la raíz cúbica más interior y conviértela en un exponente

Start with the innermost cube root and convert it to an exponent

Pista grande:

En cada nivel exterior, suma $1$ al exponente y divide entre $3$

At each outer level, add $1$ to the exponent and divide by $3$

Solución:

La raíz más interior es $N^{\frac{1}{3}}.$ La siguiente es $(N\cdot N^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}=N^{\frac{4}{9}}.$ La exterior es $(N\cdot N^{\frac{4}{9}})^{\frac{1}{3}}=N^{\frac{13}{27}}.$ Por tanto, la respuesta correcta es D.

The innermost radical is $N^{\frac{1}{3}}.$ The next is $(N\cdot N^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}=N^{\frac{4}{9}}.$ The outermost is $(N\cdot N^{\frac{4}{9}})^{\frac{1}{3}}=N^{\frac{13}{27}}.$ Thus D is correct.

8.

Un cuadrado de lado $1$ se divide en dos trapecios congruentes y un pentágono de áreas iguales, uniendo el centro del cuadrado con puntos de tres de sus lados, como se muestra. Halla $x,$ la longitud del lado paralelo mayor de cada trapecio.

A square with sides of length $1$ is divided into two congruent trapezoids and a pentagon, which have equal areas, by joining the center of the square with points on three of the sides, as shown. Find $x,$ the length of the longer parallel side of each trapezoid.

$\frac35$

$\frac23$

$\frac34$

$\frac56$

$\frac78$

Respuesta: D

Conceptos:trapezoid area equal areas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Cada una de las tres regiones tiene área $\frac{1}{3}$

Each of the three regions has area $\frac{1}{3}$

Pista grande:

Cada trapecio tiene altura $\frac{1}{2}$ y lados paralelos $x$ y $\frac{1}{2}$

A trapezoid has height $\frac{1}{2}$ and parallel sides $x$ and $\frac{1}{2}$

Solución:

Cada trapecio tiene área $\frac{1}{3}.$ Su altura es $\frac{1}{2},$ y sus lados paralelos miden $x$ y $\frac{1}{2}.$ Por tanto, $\frac12\cdot\frac12\left(x+\frac12\right)=\frac13,$ lo que da $x=\frac{5}{6}.$ Así, la respuesta correcta es D.

Each trapezoid has area $\frac{1}{3}.$ Its height is $\frac{1}{2},$ and its parallel sides have lengths $x$ and $\frac{1}{2}.$ Therefore $\frac12\cdot\frac12\left(x+\frac12\right)=\frac13,$ which gives $x=\frac{5}{6}.$ Thus D is correct.

9.

Un orador habló durante sesenta minutos ante un auditorio lleno. El veinte por ciento del público oyó toda la charla y el diez por ciento durmió durante toda ella. La mitad del resto oyó un tercio de la charla y la otra mitad oyó dos tercios. ¿Cuál fue el número promedio de minutos de la charla que oyó cada asistente?

A speaker talked for sixty minutes to a full auditorium. Twenty percent of the audience heard the entire talk and ten percent slept through the entire talk. Half of the remainder heard one third of the talk and the other half heard two thirds of the talk. What was the average number of minutes of the talk heard by members of the audience?

$24$

$27$

$30$

$33$

$36$

Respuesta: D

Conceptos:weighted averages percentages

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Cada mitad del grupo restante representa el $35\%$ del público

The two halves of the remainder are each $35\%$ of the audience

Pista grande:

Pondera los tiempos $60,0,20,$ y $40$ por las fracciones correspondientes del público

Weight the heard times $60,0,20,$ and $40$ by their audience fractions

Solución:

El promedio es $0.20(60)+0.10(0)$ $+0.35(20)+0.35(40)$ $=12+7+14=33$ minutos. Por tanto, la respuesta correcta es D.

The average is $0.20(60)+0.10(0)$ $+0.35(20)+0.35(40)$ $=12+7+14=33$ minutes. Thus D is correct.

10.

Un cuadrado grande se divide en un cuadrado pequeño rodeado por cuatro rectángulos congruentes, como se muestra. El perímetro de cada rectángulo congruente es $14.$ ¿Cuál es el área del cuadrado grande?

A large square is divided into a small square surrounded by four congruent rectangles as shown. The perimeter of each of the congruent rectangles is $14.$ What is the area of the large square?

$49$

$64$

$100$

$121$

$196$

Respuesta: A

Conceptos:rectangle dimensions square area

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Sean $x$ y $y$ los lados de uno de los rectángulos

Let the sides of one rectangle be $x$ and $y$

Pista grande:

El lado del cuadrado grande mide $x+y$

The side length of the large square is $x+y$

Solución:

Si un rectángulo tiene lados $x,y,$ entonces $2x+2y=14,$ de modo que $x+y=7.$ El cuadrado grande tiene lado $x+y,$ y por tanto área $7^2=49.$ La respuesta correcta es A.

If a rectangle has sides $x,y,$ then $2x+2y=14,$ so $x+y=7.$ The large square has side $x+y,$ hence area $7^2=49.$ The correct answer is A.

11.

Sea $R$ un rectángulo. ¿Cuántos círculos en el plano de $R$ tienen un diámetro cuyos dos extremos son vértices de $R$ ?

Let $R$ be a rectangle. How many circles in the plane of $R$ have a diameter both of whose endpoints are vertices of $R?$

$1$

$2$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: D

Conceptos:circles rectangles counting

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Hay seis pares no ordenados de vértices del rectángulo

There are six unordered pairs of rectangle vertices

Pista grande:

Las dos diagonales determinan el mismo círculo

The two diagonals determine the same circle

Solución:

Los cuatro lados determinan cuatro círculos distintos que los tienen por diámetro. Las dos diagonales son iguales y comparten punto medio, así que determinan el mismo quinto círculo. Por tanto, hay $5,$ y la respuesta correcta es D.

The four sides determine four distinct diameter circles. The two diagonals are equal and share a midpoint, so they determine the same fifth circle. Hence there are $5,$ and D is correct.

12.

¿Cuántos números primos distintos son factores de $N$ si $\log_2(\log_3(\log_5(\log_7N)))=11?$

How many different prime numbers are factors of $N$ if $\log_2(\log_3(\log_5(\log_7N)))=11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$7$

Respuesta: A

Conceptos:nested logarithms prime factors

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Deshaz los logaritmos uno por uno, comenzando con el de base $2$

Undo the logarithms one at a time, starting with base $2$

Pista grande:

La expresión final para $N$ es una potencia de $7$

The final expression for $N$ is a power of $7$

Solución:

Al exponenciar sucesivamente se obtiene $N=7^{\,5^{\,3^{\,2^{11}}}}.$ Por tanto, $7$ es el único factor primo de $N,$ así que la respuesta correcta es A.

Successively exponentiating gives $N=7^{\,5^{\,3^{\,2^{11}}}}.$ Thus $7$ is the only prime factor of $N,$ so the correct answer is A.

13.

Walter lanza cuatro dados estándar de seis caras y observa que el producto de los números de las caras superiores es $144.$ ¿Cuál de los siguientes no podría ser la suma de las cuatro caras superiores?

Walter rolls four standard six-sided dice and finds that the product of the numbers on the upper faces is $144.$ Which of the following could not be the sum of the upper four faces?

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Respuesta: E

Conceptos:factorization análisis por casos

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Factoriza $144=2^4\cdot3^2$ en cuatro factores entre $1$ y $6$

Factor $144=2^4\cdot3^2$ using four factors from $1$ through $6$

Pista grande:

Separa los casos con cero, una o dos caras que muestren $6$

Separate the cases with zero, one, or two faces showing $6$

Solución:

Entre los resultados posibles están $(4,4,3,3)$ con suma $14,$ $(6,4,3,2)$ con suma $15,$ $(6,6,2,2)$ con suma $16,$ y $(6,6,4,1)$ con suma $17.$ Si aparecen dos $6,$ las otras dos caras tienen producto $4$ y suma a lo sumo $5,$ para un total máximo de $17;$ los casos con menos $6$ tampoco pueden sumar $18$ y conservar producto $144.$ Por tanto, $18$ es imposible, y la respuesta correcta es E.

Valid rolls include $(4,4,3,3)$ with sum $14,$ $(6,4,3,2)$ with sum $15,$ $(6,6,2,2)$ with sum $16,$ and $(6,6,4,1)$ with sum $17.$ If two $6$ s occur, the other two faces have product $4$ and sum at most $5,$ giving total at most $17;$ the cases with fewer $6$ s also cannot total $18$ while retaining product $144.$ Thus $18$ is impossible, and E is correct.

14.

Una parábola tiene vértice en $(4,-5)$ y dos intersecciones con el eje $x$ , una positiva y otra negativa. Si la parábola es la gráfica de $y=ax^2+bx+c,$ ¿cuáles de $a,$ $b,$ y $c$ deben ser positivos?

A parabola has vertex at $(4,-5)$ and has two $x$ -intercepts, one positive and one negative. If this parabola is the graph of $y=ax^2+bx+c,$ which of $a,$ $b,$ and $c$ must be positive?

solo $a$

only $a$

solo $b$

only $b$

solo $c$

only $c$

solo $a$ y $b$

$a$ and $b$ only

ninguno

none

Respuesta: A

Conceptos:quadratic functions signs of coefficients

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

El vértice está por debajo de las dos intersecciones; usa esto para determinar hacia dónde se abre la parábola

The vertex lies below two intercepts, so determine the opening direction

Pista grande:

Usa los signos del producto de las raíces y de $-\frac{b}{2a}=4$

Use the signs of the roots’ product and of $-\frac{b}{2a}=4$

Solución:

La parábola se abre hacia arriba, así que $a\gt0.$ Sus raíces tienen signos opuestos, de modo que $\frac{c}{a}\lt0$ y por tanto $c\lt0.$ Además, $-\frac{b}{2a}=4\gt0,$ así que $b\lt0.$ Por consiguiente, solo $a$ debe ser positivo, y la respuesta correcta es A.

The parabola opens upward, so $a\gt0.$ Its roots have opposite signs, so $\frac{c}{a}\lt0$ and hence $c\lt0.$ Also $-\frac{b}{2a}=4\gt0,$ so $b\lt0.$ Therefore only $a$ must be positive, and A is correct.

15.

Un hexágono regular y un triángulo equilátero tienen áreas iguales. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado del triángulo y la longitud del lado del hexágono?

A regular hexagon and an equilateral triangle have equal areas. What is the ratio of the length of a side of the triangle to the length of a side of the hexagon?

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt6$

$3$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:regular polygons area ratios

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Divide el hexágono regular en seis triángulos equiláteros

Partition the regular hexagon into six equilateral triangles

Pista grande:

El área de un triángulo equilátero es proporcional al cuadrado de su lado

Equilateral-triangle area is proportional to the square of its side

Solución:

Un hexágono regular de lado $s$ está formado por seis triángulos equiláteros de lado $s.$ Un triángulo equilátero de igual área y lado $t$ satisface entonces $t^2=6s^2,$ por lo que $\frac{t}{s}=\sqrt6.$ La respuesta correcta es C.

A regular hexagon of side $s$ is six equilateral triangles of side $s.$ An equal-area equilateral triangle of side $t$ therefore satisfies $t^2=6s^2,$ so $\frac{t}{s}=\sqrt6.$ The correct answer is C.

16.

La figura mostrada es la unión de un círculo y dos semicírculos de diámetros $a$ y $b,$ cuyos centros son colineales. La razón entre el área de la región sombreada y la de la región no sombreada es

The figure shown is the union of a circle and two semicircles of diameters $a$ and $b,$ all of whose centers are collinear. The ratio of the area of the shaded region to that of the unshaded region is

$\sqrt{\frac ab}$

$\frac ab$

$\frac{a^2}{b^2}$

$\frac{a+b}{2b}$

$\frac{a^2+2ab}{b^2+2ab}$

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo algebraic simplification

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Expresa cada región mediante el semicírculo grande y uno de los semicírculos pequeños

Express each region using the large semicircle and one small semicircle

Pista grande:

Las dos áreas resultantes contienen un factor común múltiplo de $a+b$

Both resulting areas factor a common multiple of $a+b$

Solución:

El área sombreada es $\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 +\frac{\pi}{2}\left(\frac a2\right)^2\\ &\qquad-\frac{\pi}{2}\left(\frac b2\right)^2 =\frac{\pi a(a+b)}4. \end{aligned}$ Del mismo modo, el área no sombreada es $\frac{\pi b(a+b)}{4}.$ Su razón es $\frac{a}{b},$ así que la respuesta correcta es B.

The shaded area is $\begin{aligned} &\frac{\pi}{2}\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 +\frac{\pi}{2}\left(\frac a2\right)^2\\ &\qquad-\frac{\pi}{2}\left(\frac b2\right)^2 =\frac{\pi a(a+b)}4. \end{aligned}$ Similarly, the unshaded area is $\frac{\pi b(a+b)}{4}.$ Their ratio is $\frac{a}{b},$ so B is correct.

17.

Sea $f(x)$ una función con las dos propiedades siguientes:

(a) para cualesquiera números reales $x$ y $y,$ $f(x+y)=x+f(y),$ y

(b) $f(0)=2.$

¿Cuál es el valor de $f(1998)$ ?

Let $f(x)$ be a function with the two properties:

(a) for any two real numbers $x$ and $y,$ $f(x+y)=x+f(y),$ and

(b) $f(0)=2.$

What is the value of $f(1998)?$

$0$

$2$

$1996$

$1998$

$2000$

Respuesta: E

Conceptos:functional equations sustitución

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pon $y=0$ en la ecuación funcional

Set $y=0$ in the functional equation

Pista grande:

Las dos propiedades determinan directamente $f(x)$ para todo número real $x$

The two properties determine $f(x)$ directly for every real $x$

Solución:

Al tomar $y=0$ se obtiene $f(x)=x+f(0)=x+2.$ Por tanto, $f(1998)=2000,$ así que la respuesta correcta es E.

Taking $y=0$ gives $f(x)=x+f(0)=x+2.$ Hence $f(1998)=2000,$ so E is correct.

18.

Un cono circular recto de volumen $A,$ un cilindro circular recto de volumen $M,$ y una esfera de volumen $C$ tienen el mismo radio, y la altura común del cono y del cilindro es igual al diámetro de la esfera. Entonces

A right circular cone of volume $A,$ a right circular cylinder of volume $M,$ and a sphere of volume $C$ all have the same radius, and the common height of the cone and the cylinder is equal to the diameter of the sphere. Then

$A-M+C=0$

$A+M=C$

$2A=M+C$

$A^2-M^2+C^2=0$

$2A+2M=3C$

Respuesta: A

Conceptos:solid geometry volume formulas

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea $r$ el radio común, de modo que la altura del cono y del cilindro es $2r$

Let the common radius be $r$ , so the cone and cylinder height is $2r$

Pista grande:

Escribe los tres volúmenes como múltiplos de $\pi r^3$

Write all three volumes as multiples of $\pi r^3$

Solución:

Los volúmenes son $A=\frac23\pi r^3,$ $M=2\pi r^3,$ y $C=\frac43\pi r^3.$ Por tanto, $A-M+C$ $=(\frac{2}{3}-2+\frac{4}{3})\pi r^3=0,$ así que la respuesta correcta es A.

The volumes are $A=\frac23\pi r^3,$ $M=2\pi r^3,$ and $C=\frac43\pi r^3.$ Therefore $A-M+C$ $=(\frac{2}{3}-2+\frac{4}{3})\pi r^3=0,$ so A is correct.

19.

¿Cuántos triángulos tienen área $10$ y vértices en $(-5,0),$ $(5,0),$ y $(5\cos\theta,5\sin\theta)$ para algún ángulo $\theta$ ?

How many triangles have area $10$ and vertices at $(-5,0),$ $(5,0),$ and $(5\cos\theta,5\sin\theta)$ for some angle $\theta?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica trigonometría área

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

La base fija mide $10$ , y la altura del tercer vértice es $|5\sin\theta|$

The fixed base has length $10$ , and the third vertex has height $|5\sin\theta|$

Pista grande:

Cuenta los puntos distintos del círculo que satisfacen la ecuación trigonométrica resultante

Count the distinct points on the circle satisfying the resulting sine equation

Solución:

El área es $\frac12(10)|5\sin\theta|=25|\sin\theta|.$ Por tanto, $|\sin\theta|=\frac{2}{5}.$ Hay cuatro puntos correspondientes en el círculo, cada uno de los cuales produce un triángulo distinto. Así, la respuesta es $4,$ y la respuesta correcta es C.

The area is $\frac12(10)|5\sin\theta|=25|\sin\theta|.$ Thus $|\sin\theta|=\frac{2}{5}.$ There are four corresponding points on the circle, and each gives a distinct triangle. Hence the answer is $4,$ making C correct.

20.

Hay tres tarjetas boca abajo sobre una mesa, cada una con un entero positivo escrito. Casey, Stacy y Tracy saben que

(a) los números son todos distintos,

(b) suman $13,$ y

(c) están en orden creciente de izquierda a derecha.

Primero, Casey mira el número de la tarjeta izquierda y dice: “No tengo información suficiente para determinar los otros dos números”. Después, Tracy mira el número de la tarjeta derecha y dice: “No tengo información suficiente para determinar los otros dos números”. Por último, Stacy mira el número de la tarjeta central y dice: “No tengo información suficiente para determinar los otros dos números”. Supón que cada persona sabe que las otras dos razonan perfectamente y oye sus comentarios. ¿Qué número está en la tarjeta central?

Three cards, each with a positive integer written on it, are lying face-down on a table. Casey, Stacy, and Tracy are told that

(a) the numbers are all different,

(b) they sum to $13,$ and

(c) they are in increasing order, left to right.

First, Casey looks at the number on the leftmost card and says, “I don’t have enough information to determine the other two numbers.” Then Tracy looks at the number on the rightmost card and says, “I don’t have enough information to determine the other two numbers.” Finally, Stacy looks at the number on the middle card and says, “I don’t have enough information to determine the other two numbers.” Assume that each person knows that the other two reason perfectly and hears their comments. What number is on the middle card?

$2$

$3$

$4$

$5$

No hay información suficiente para determinar el número.

There is not enough information to determine the number.

Respuesta: C

Conceptos:logic ordered triples

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Enumera todas las ternas crecientes de enteros positivos con suma $13$

List all increasing positive triples with sum $13$

Pista grande:

Elimina ternas en el orden de las tres afirmaciones, usando lo que cada persona ya ha aprendido

Eliminate triples in the order of the three statements, using what each speaker has learned

Solución:

Las ocho ternas son $\begin{gathered} (1,2,10),(1,3,9),\\ (1,4,8),(1,5,7),\\ (2,3,8),(2,4,7),\\ (2,5,6),(3,4,6). \end{gathered}$ La afirmación de Casey excluye $(3,4,6).$ Sabiendo esto, la afirmación de Tracy excluye los valores derechos $10,9,$ y $6.$ Las ternas restantes son $(1,4,8),(2,3,8)$ y $(1,5,7),(2,4,7).$ Un valor central de $3$ o $5$ identificaría ahora la terna, así que la afirmación de Stacy obliga a que el valor central sea $4.$ Por tanto, la respuesta correcta es C.

The eight triples are $\begin{gathered} (1,2,10),(1,3,9),\\ (1,4,8),(1,5,7),\\ (2,3,8),(2,4,7),\\ (2,5,6),(3,4,6). \end{gathered}$ Casey’s statement excludes $(3,4,6).$ With that known, Tracy’s statement excludes rightmost values $10,9,$ and $6.$ The remaining triples are $(1,4,8),(2,3,8)$ and $(1,5,7),(2,4,7).$ A middle value $3$ or $5$ would now identify the triple, so Stacy’s statement forces the middle value $4.$ Thus C is correct.

21.

En una carrera de $h$ metros, Sunny está exactamente $d$ metros por delante de Windy cuando Sunny termina. La próxima vez que corren, Sunny comienza deportivamente $d$ metros detrás de Windy, que está en la línea de salida. Ambos corren a las mismas velocidades constantes que en la primera carrera. ¿Cuántos metros de ventaja lleva Sunny cuando termina la segunda carrera?

In an $h$ -meter race, Sunny is exactly $d$ meters ahead of Windy when Sunny finishes the race. The next time they race, Sunny sportingly starts $d$ meters behind Windy, who is at the starting line. Both runners run at the same constant speed as they did in the first race. How many meters ahead is Sunny when Sunny finishes the second race?

$\frac dh$

$0$

$\frac{d^2}{h}$

$\frac{h^2}{d}$

$\frac{d^2}{h-d}$

Respuesta: C

Conceptos:rates algebra

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Expresa la velocidad de Windy como una fracción de la de Sunny usando la primera carrera

Express Windy’s speed as a fraction of Sunny’s speed using the first race

Pista grande:

En la segunda carrera, Sunny recorre $h+d$ metros antes de terminar

In the second race Sunny travels $h+d$ meters before finishing

Solución:

Si la velocidad de Sunny es $r,$ la de Windy es $\frac{r(h-d)}{h}.$ Sunny necesita tiempo $\frac{h+d}{r}$ en la segunda carrera, durante el cual Windy recorre $\frac{r(h-d)}h\cdot\frac{h+d}{r} =h-\frac{d^2}{h}.$ Sunny termina en la posición $h,$ así que la ventaja es $\frac{d^2}{h}.$ Por tanto, la respuesta correcta es C.

If Sunny’s speed is $r,$ Windy’s is $\frac{r(h-d)}{h}.$ Sunny needs time $\frac{h+d}{r}$ in the second race, during which Windy runs $\frac{r(h-d)}h\cdot\frac{h+d}{r} =h-\frac{d^2}{h}.$ Sunny finishes at position $h,$ so the lead is $\frac{d^2}{h}.$ Thus C is correct.

22.

¿Cuál es el valor de la expresión $\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}? \end{aligned}$

What is the value of the expression $\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}? \end{aligned}$

$0.01$

$0.1$

$1$

$2$

$10$

Respuesta: C

Conceptos:logarithms sums

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Usa la identidad de recíprocos $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

Use the reciprocal identity $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

Pista grande:

Combina los logaritmos resultantes de $2,3,\ldots,100$

Combine the resulting logarithms of $2,3,\ldots,100$

Solución:

Cada término es igual a $\log_{100!}b.$ Por tanto, la suma es $\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1. \end{aligned}$ Así, la respuesta correcta es C.

Each term equals $\log_{100!}b.$ Therefore the sum is $\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1. \end{aligned}$ Thus C is correct.

23.

Las gráficas de $x^2+y^2=4+12x+6y$ y $x^2+y^2=k+4x+12y$ se intersecan cuando $k$ satisface $a\le k\le b,$ y para ningún otro valor de $k.$ Halla $b-a.$

The graphs of $x^2+y^2=4+12x+6y$ and $x^2+y^2=k+4x+12y$ intersect when $k$ satisfies $a\le k\le b,$ and for no other values of $k.$ Find $b-a.$

$5$

$68$

$104$

$140$

$144$

Respuesta: D

Conceptos:circles completar el cuadrado intersection

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Completa cuadrados para hallar los centros y los radios de ambos círculos

Complete the square to find both circle centers and radii

Pista grande:

Dos círculos se intersecan exactamente cuando la distancia entre sus centros está entre la diferencia y la suma de sus radios

Two circles intersect exactly when the center distance lies between the difference and sum of their radii

Solución:

Los círculos son $(x-6)^2+(y-3)^2=49,$ $(x-2)^2+(y-6)^2=k+40.$ Sus centros están a $5$ unidades de distancia. Si el segundo radio es $r=\sqrt{k+40},$ la intersección exige $|7-r|\le5\le7+r,$ o sea, $2\le r\le12.$ Por tanto, $-36\le k\le104,$ y $b-a=140.$ La respuesta correcta es D.

The circles are $(x-6)^2+(y-3)^2=49,$ $(x-2)^2+(y-6)^2=k+40.$ Their centers are $5$ units apart. With second radius $r=\sqrt{k+40},$ intersection requires $|7-r|\le5\le7+r,$ or $2\le r\le12.$ Thus $-36\le k\le104,$ and $b-a=140.$ The correct answer is D.

24.

Un número telefónico de $7$ cifras $d_1d_2d_3$ - $d_4d_5d_6d_7$ se llama memorable si la secuencia del prefijo $d_1d_2d_3$ coincide exactamente con alguna de las secuencias $d_4d_5d_6$ o $d_5d_6d_7$ (o con ambas). Suponiendo que cada $d_i$ puede ser cualquiera de las diez cifras decimales $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9,$ el número de teléfonos memorables distintos es

Call a $7$ -digit telephone number $d_1d_2d_3$ - $d_4d_5d_6d_7$ memorable if the prefix sequence $d_1d_2d_3$ is exactly the same as either of the sequences $d_4d_5d_6$ or $d_5d_6d_7$ (possibly both). Assuming that each $d_i$ can be any of the ten decimal digits $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9,$ the number of different memorable telephone numbers is

$19{,}810$

$19{,}910$

$19{,}990$

$20{,}000$

$20{,}100$

Respuesta: C

Conceptos:inclusión-exclusión digit strings

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Cuenta por separado los números que satisfacen cada una de las dos condiciones de coincidencia

Count numbers satisfying each of the two matching conditions separately

Pista grande:

Si se cumplen ambas coincidencias, las siete cifras quedan determinadas por una sola cifra repetida

If both matches hold, all seven digits are forced by one repeated digit

Solución:

Cada condición de coincidencia da $10^4=10,000$ números: se eligen las tres cifras del prefijo y la única cifra restante sin restricción. Si se cumplen ambas, entonces $d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,$ lo que obliga a que todas las cifras sean iguales, así que hay $10$ intersecciones. Por inclusión-exclusión se obtienen $10,000+10,000-10=19,990,$ por lo que la respuesta correcta es C.

Each matching condition gives $10^4=10,000$ numbers: choose the three prefix digits and the one unconstrained remaining digit. If both hold, then $d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,$ forcing all digits equal, so there are $10$ overlaps. Inclusion-exclusion gives $10,000+10,000-10=19,990,$ so C is correct.

25.

Una hoja de papel cuadriculado se dobla una vez de modo que $(0,2)$ coincida con $(4,0),$ y $(7,3)$ coincida con $(m,n).$ Halla $m+n.$

A piece of graph paper is folded once so that $(0,2)$ is matched with $(4,0),$ and $(7,3)$ is matched with $(m,n).$ Find $m+n.$

$6.7$

$6.8$

$6.9$

$7.0$

$8.0$

Respuesta: B

Conceptos:reflections geometría analítica

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

El pliegue es la mediatriz del segmento que une $(0,2)$ y $(4,0)$

The crease is the perpendicular bisector of the segment joining $(0,2)$ and $(4,0)$

Pista grande:

Halla la recta $y=2x-3$ y luego refleja $(7,3)$ respecto de ella

Find the line $y=2x-3$ , then reflect $(7,3)$ across it

Solución:

El pliegue pasa por $(2,1)$ y tiene pendiente $2,$ así que es $y=2x-3.$ La perpendicular por $(7,3)$ tiene pendiente $-\frac{1}{2}$ y corta el pliegue en $(\frac{19}{5},\frac{23}{5}).$ Este punto es el punto medio de $(7,3)$ y $(m,n),$ de donde $m=\frac{3}{5},\ n=\frac{31}{5}.$ Por tanto, $m+n=\frac{34}{5}=6.8,$ así que la respuesta correcta es B.

The crease passes through $(2,1)$ with slope $2,$ so it is $y=2x-3.$ The perpendicular through $(7,3)$ has slope $-\frac{1}{2}$ and meets the crease at $(\frac{19}{5},\frac{23}{5}).$ This intersection is the midpoint of $(7,3)$ and $(m,n),$ giving $m=\frac{3}{5},\ n=\frac{31}{5}.$ Hence $m+n=\frac{34}{5}=6.8,$ so B is correct.

26.

En el cuadrilátero $ABCD,$ se sabe que $\angle A=120^\circ,$ los ángulos $B$ y $D$ son rectos, $AB=13,$ y $AD=46.$ Entonces $AC=$

In quadrilateral $ABCD,$ it is given that $\angle A=120^\circ,$ angles $B$ and $D$ are right angles, $AB=13,$ and $AD=46.$ Then $AC=$

$60$

$62$

$64$

$65$

$72$

Respuesta: B

Conceptos:cyclic quadrilaterals ley de los cosenos circumradius

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Los dos ángulos rectos hacen que $ABCD$ sea cíclico con $AC$ como diámetro

The two right angles make $ABCD$ cyclic with $AC$ as a diameter

Pista grande:

Halla $BD$ en el triángulo $ABD$ y luego usa la ley de los senos extendida

Find $BD$ in triangle $ABD$ , then use the extended law of sines

Solución:

Como $\angle B+\angle D=180^\circ,$ el cuadrilátero es cíclico, y $AC$ es su diámetro. En el triángulo $ABD,$ $\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}$ Por la ley de los senos extendida, $AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}$ $=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.$ Así, la respuesta correcta es B.

Because $\angle B+\angle D=180^\circ,$ the quadrilateral is cyclic, and $AC$ is its diameter. In triangle $ABD,$ $\begin{aligned} BD^2&=13^2+46^2\\ &\quad-2(13)(46)\cos120^\circ\\ &=2883=(31\sqrt3)^2. \end{aligned}$ By the extended law of sines, $AC=\frac{BD}{\sin120^\circ}$ $=\frac{31\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=62.$ Thus B is correct.

27.

Un cubo de $9\times9\times9$ está compuesto por veintisiete cubos de $3\times3\times3$ . Se abren “túneles” en el cubo grande de la siguiente manera: primero se retiran los seis cubos de $3\times3\times3$ que forman el centro de cada cara, así como el cubo central de $3\times3\times3$ , según se muestra. Segundo, cada uno de los veinte cubos de $3\times3\times3$ restantes se reduce de la misma manera; es decir, se retiran los cubos unitarios centrales de sus caras y su cubo central. El área superficial de la figura final es

A $9\times9\times9$ cube is composed of twenty-seven $3\times3\times3$ cubes. The big cube is “tunneled” as follows: First, the six $3\times3\times3$ cubes which make up the center of each face as well as the center $3\times3\times3$ cube are removed as shown. Second, each of the twenty remaining $3\times3\times3$ cubes is diminished in the same way. That is, the center facial unit cubes as well as each center cube are removed. The surface area of the final figure is

$384$

$729$

$864$

$1024$

$1056$

Respuesta: E

Conceptos:área de superficie three-dimensional counting

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Después de la primera etapa, clasifica los veinte subcubos grandes restantes como cubos de esquina o de arista

After the first stage, classify the twenty remaining large subcubes as corner or edge cubes

Pista grande:

Para cada túnel de la segunda etapa, resta los cuadrados centrales expuestos y suma las paredes recién expuestas del túnel

For each second-stage tunnel, subtract exposed center squares and add the newly exposed tunnel walls

Solución:

Después de la primera etapa, $8$ subcubos de esquina aportan $27$ unidades expuestas cada uno, y $12$ subcubos de arista aportan $36$ cada uno. Perforar un subcubo de esquina elimina $3$ cuadrados unitarios expuestos y añade $24$ paredes del túnel; perforar uno de arista elimina $4$ y también añade $24.$ Por tanto, el área final es $\begin{aligned} &8(27-3+24)\\ &\qquad+12(36-4+24)\\ &=384+672=1056. \end{aligned}$ Así, la respuesta correcta es E.

After the first stage, $8$ corner subcubes contribute $27$ exposed units each, and $12$ edge subcubes contribute $36$ each. Tunneling a corner subcube removes $3$ exposed unit squares and adds $24$ tunnel-wall squares; tunneling an edge subcube removes $4$ and also adds $24.$ Hence the final area is $\begin{aligned} &8(27-3+24)\\ &\qquad+12(36-4+24)\\ &=384+672=1056. \end{aligned}$ Thus E is correct.

28.

En el triángulo $ABC,$ el ángulo $C$ es recto y $CB\gt CA.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que el ángulo $CAD$ es el doble del ángulo $DAB.$ Si $\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3},$ entonces $\frac{CD}{BD}=\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m+n.$

In triangle $ABC,$ angle $C$ is a right angle and $CB\gt CA.$ Point $D$ is located on $\overline{BC}$ so that angle $CAD$ is twice angle $DAB.$ If $\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3},$ then $\frac{CD}{BD}=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

$10$

$14$

$18$

$22$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría angle multiplication

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Sea $\angle DAB=\alpha$ , de modo que $\angle CAB=3\alpha$ y $\cos2\alpha=\frac{AC}{AD}$

Let $\angle DAB=\alpha$ , so $\angle CAB=3\alpha$ and $\cos2\alpha=\frac{AC}{AD}$

Pista grande:

Toma $AC=1$ y expresa $CD$ y $CB$ mediante $\tan2\alpha$ y $\tan3\alpha$

Set $AC=1$ and express $CD$ and $CB$ using $\tan2\alpha$ and $\tan3\alpha$

Solución:

Sea $\angle DAB=\alpha.$ Como $\frac{AC}{AD}=\cos2\alpha=\frac{2}{3},$ la identidad de $\cos2\alpha$ da $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$ Tomando $AC=1,$ $\begin{aligned} CD&=\tan2\alpha=\frac{\sqrt5}{2},\\ CB&=\tan3\alpha=\frac{7\sqrt5}{5}. \end{aligned}$ Entonces $BD=CB-CD=\frac{9\sqrt5}{10},$ y $\frac{CD}{BD}=\frac{5}{9}.$ Por tanto, $m+n=14,$ así que la respuesta correcta es B.

Let $\angle DAB=\alpha.$ Since $\frac{AC}{AD}=\cos2\alpha=\frac{2}{3},$ the identity for $\cos2\alpha$ gives $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$ Taking $AC=1,$ $\begin{aligned} CD&=\tan2\alpha=\frac{\sqrt5}{2},\\ CB&=\tan3\alpha=\frac{7\sqrt5}{5}. \end{aligned}$ Thus $BD=CB-CD=\frac{9\sqrt5}{10},$ and $\frac{CD}{BD}=\frac{5}{9}.$ Therefore $m+n=14,$ so B is correct.

29.

Un punto $(x,y)$ del plano se llama punto reticular si tanto $x$ como $y$ son enteros. El área del mayor cuadrado que contiene exactamente tres puntos reticulares en su interior es la más cercana a

A point $(x,y)$ in the plane is called a lattice point if both $x$ and $y$ are integers. The area of the largest square that contains exactly three lattice points in its interior is closest to

$4.0$

$4.2$

$4.5$

$5.0$

$5.6$

Respuesta: D

Conceptos:lattice points extremal geometry

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Tres puntos reticulares interiores colineales obligan a que haya un cuarto; usa un triángulo reticular no colineal mínimo

Three collinear interior lattice points force a fourth, so use a smallest noncollinear lattice triangle

Pista grande:

En un cuadrado máximo, los lados opuestos quedan fijados por puntos reticulares cercanos; compara su separación

At a maximal square, opposite sides are pinned by nearby lattice points; compare their separation

Solución:

Basta encerrar los tres puntos reticulares no colineales $(0,0),(0,1),(1,0).$ En una colocación máxima, dos lados opuestos quedan fijados por puntos reticulares vecinos; la mayor separación posible es la distancia $\sqrt5$ entre las rectas paralelas que pasan por $(1,1)$ y $(0,-1).$ Por tanto, el área es a lo sumo $5.$ Este valor se alcanza con el cuadrado limitado por $\begin{aligned} y&=2x+2,\\ y&=2x-3,\\ 2y+x&=3,\\ 2y+x&=-2. \end{aligned}$ Su área es $5$ y contiene exactamente los tres puntos indicados en su interior. Así, la respuesta correcta es D.

It suffices to enclose the three noncollinear lattice points $(0,0),(0,1),(1,0).$ In a maximal placement, two opposite sides are pinned by neighboring lattice points; the greatest possible separation is the distance $\sqrt5$ between parallel lines through $(1,1)$ and $(0,-1).$ Hence the area is at most $5.$ This is attained by the square bounded by $\begin{aligned} y&=2x+2,\\ y&=2x-3,\\ 2y+x&=3,\\ 2y+x&=-2. \end{aligned}$ Its area is $5$ and exactly the three stated lattice points lie inside. Thus D is correct.

30.

Para cada entero positivo $n,$ sea $a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.$ Sea $k$ el menor entero positivo para el cual la cifra no nula más a la derecha de $a_k$ es impar. La cifra no nula más a la derecha de $a_k$ es

For each positive integer $n,$ let $a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}.$ Let $k$ denote the smallest positive integer for which the rightmost nonzero digit of $a_k$ is odd. The rightmost nonzero digit of $a_k$ is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:prime valuations trailing digits aritmética modular

Nivel de dificultad: 2630

Pista pequeña:

Escribe $a_n=n(n+1)\cdots(n+9)$ y compara sus potencias de $2$ y $5$

Write $a_n=n(n+1)\cdots(n+9)$ and compare its powers of $2$ and $5$

Pista grande:

Una cifra no nula impar en el extremo derecho se vuelve posible por primera vez cuando el bloque de diez términos contiene $5^7$

An odd rightmost nonzero digit first becomes possible when the ten-term block contains $5^7$

Solución:

Los cinco términos pares de cualesquiera diez enteros consecutivos aportan al menos $2^8.$ Por tanto, la cifra no nula final solo puede ser impar cuando el bloque contiene al menos ocho factores de $5,$ lo que se hace posible por primera vez cuando contiene $5^7=78125.$ Para $n=5^7-9,$ el bloque tiene $v_2=9$ y $v_5=8,$ así que la cifra sigue siendo par. Para $n=5^7-8=78117,$ ambas valuaciones son $8.$ Al cancelar $2^8 5^8$ y multiplicar las cifras de unidades impares restantes se obtiene $\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}$ Por consiguiente, la primera cifra no nula final impar es $9,$ y la respuesta correcta es E.

The five even terms in any ten consecutive integers contribute at least $2^8.$ Thus the rightmost nonzero digit can be odd only when the block contains at least eight factors of $5,$ first possible when it contains $5^7=78125.$ For $n=5^7-9,$ the block has $v_2=9$ and $v_5=8,$ so the digit remains even. For $n=5^7-8=78117,$ both valuations are $8.$ Cancelling $2^8 5^8$ and multiplying the remaining odd unit digits gives $\begin{aligned} &7\cdot9\cdot1\cdot3\cdot9\cdot3\\ &\qquad\cdot1\cdot1\cdot3 \equiv9\pmod{10}. \end{aligned}$ Hence the first odd rightmost nonzero digit is $9,$ and E is correct.

Problemas del 1998 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande: