Question

En el triángulo $ABC,$ el ángulo $C$ es recto y $CB\gt CA.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que el ángulo $CAD$ es el doble del ángulo $DAB.$ Si $\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3},$ entonces $\frac{CD}{BD}=\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m+n.$

In triangle $ABC,$ angle $C$ is a right angle and $CB\gt CA.$ Point $D$ is located on $\overline{BC}$ so that angle $CAD$ is twice angle $DAB.$ If $\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3},$ then $\frac{CD}{BD}=\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

$10$

$14$

$18$

$22$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría angle multiplication

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Sea $\angle DAB=\alpha$ , de modo que $\angle CAB=3\alpha$ y $\cos2\alpha=\frac{AC}{AD}$

Let $\angle DAB=\alpha$ , so $\angle CAB=3\alpha$ and $\cos2\alpha=\frac{AC}{AD}$

Pista grande:

Toma $AC=1$ y expresa $CD$ y $CB$ mediante $\tan2\alpha$ y $\tan3\alpha$

Set $AC=1$ and express $CD$ and $CB$ using $\tan2\alpha$ and $\tan3\alpha$

Solución:

Sea $\angle DAB=\alpha.$ Como $\frac{AC}{AD}=\cos2\alpha=\frac{2}{3},$ la identidad de $\cos2\alpha$ da $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$ Tomando $AC=1,$ $\begin{aligned} CD&=\tan2\alpha=\frac{\sqrt5}{2},\\ CB&=\tan3\alpha=\frac{7\sqrt5}{5}. \end{aligned}$ Entonces $BD=CB-CD=\frac{9\sqrt5}{10},$ y $\frac{CD}{BD}=\frac{5}{9}.$ Por tanto, $m+n=14,$ así que la respuesta correcta es B.

Let $\angle DAB=\alpha.$ Since $\frac{AC}{AD}=\cos2\alpha=\frac{2}{3},$ the identity for $\cos2\alpha$ gives $\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt5}.$ Taking $AC=1,$ $\begin{aligned} CD&=\tan2\alpha=\frac{\sqrt5}{2},\\ CB&=\tan3\alpha=\frac{7\sqrt5}{5}. \end{aligned}$ Thus $BD=CB-CD=\frac{9\sqrt5}{10},$ and $\frac{CD}{BD}=\frac{5}{9}.$ Therefore $m+n=14,$ so B is correct.

1998 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años