Question

Sea $n$ el número de puntos $P$ interiores a un círculo de radio $1,$ tales que la suma de los cuadrados de las distancias de $P$ a los extremos de un diámetro dado es $3.$ Entonces, $n$ es:

Let $n$ be the number of points $P$ interior to the region bounded by a circle with radius $1,$ such that the sum of the squares of the distances from $P$ to the endpoints of a given diameter is $3.$ Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

$4$

infinito

infinite

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia círculo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Coloca el círculo con centro en el origen y extremos del diámetro $(-1,0)$ y $(1,0)$

Place the circle at the origin with diameter endpoints $(-1,0)$ and $(1,0)$

Pista grande:

Simplifica la suma de las dos distancias al cuadrado

Simplify the sum of the two squared distances

Solución:

Sea $P=(x,y)$ y toma como extremos del diámetro $(-1,0)$ y $(1,0).$ La condición se convierte en $\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}$ Así, $x^2+y^2=\frac{1}{2}.$ Esta es una circunferencia completa de radio $\frac{1}{\sqrt2},$ situada dentro del círculo unitario dado. Contiene infinitos puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $P=(x,y)$ and take the diameter endpoints as $(-1,0)$ and $(1,0).$ The condition becomes $\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}$ Thus $x^2+y^2=\frac{1}{2}.$ This is an entire circle of radius $\frac{1}{\sqrt2},$ lying inside the given unit circle. It contains infinitely many points.

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 Problema 28

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años