Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1981 AMC 12 Problema 28

Intenta el Problema 28 del 1981 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1981 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

28.

Considera el conjunto de todas las ecuaciones x3+a2x2+a1x+a0=0,x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0, donde a2,a_2, a1,a_1, a0a_0 son constantes reales y ∣ai∣≤2|a_i|\le2 para i=0,i=0, 1,1, 2.2. Sea rr el mayor número real positivo que satisface al menos una de estas ecuaciones. Entonces

Consider the set of all equations x3+a2x2+a1x+a0=0,x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0, where a2,a_2, a1,a_1, a0a_0 are real constants and ∣ai∣≤2|a_i|\le2 for i=0,i=0, 1,1, 2.2. Let rr be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

1≤r<321\le r\lt\frac32

32≤r<2\frac32\le r\lt2

2≤r<522\le r\lt\frac52

52≤r<3\frac52\le r\lt3

3≤r<723\le r\lt\frac72

Respuesta: D
Conceptos:polinomiodesigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 2210
Pista pequeña:

Para xx positivo, los coeficientes que empujan una raíz más hacia la derecha toman sus cotas inferiores

For positive x,x, the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

Pista grande:

Acota la raíz mayor de x3−2x2−2x−2x^3-2x^2-2x-2 entre dos extremos consecutivos de las opciones

Bracket the largest root of x3−2x2−2x−2x^3-2x^2-2x-2 at two consecutive choice endpoints

Solución:

Denota por gg un polinomio permitido. Para x≥0,x\ge0, g(x)=x3+a2x2+a1x+a0≥f(x), \begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned} donde f(x)=x3−2x2−2x−2.f(x)=x^3-2x^2-2x-2. Así, ninguna raíz positiva puede superar la raíz mayor ρ\rho de f.f. Al tomar a2=a1=a0=−2a_2=a_1=a_0=-2 se obtiene g=f,g=f, por lo que ρ\rho sí se alcanza. Como f(52)=−318<0,f(3)=1>0, \begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered} tenemos 52<ρ<3.\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write an allowed polynomial as g.g. For x≥0,x\ge0, g(x)=x3+a2x2+a1x+a0≥f(x), \begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned} where f(x)=x3−2x2−2x−2.f(x)=x^3-2x^2-2x-2. Thus no positive root can exceed the largest root ρ\rho of f.f. Taking a2=a1=a0=−2a_2=a_1=a_0=-2 gives g=f,g=f, so ρ\rho itself is attained. Since f(52)=−318<0,f(3)=1>0, \begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered} we have 52<ρ<3.\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Therefore, the correct answer is D.

← Problema 27#27
Examen completo
Problema 29#29 →

El Problema 28 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12