Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d$ números reales. Supongamos que todas las raíces de $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ son números complejos situados sobre una circunferencia del plano complejo con centro en $0+0i$ y radio $1.$ La suma de los recíprocos de las raíces es necesariamente

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d$ be real numbers. Suppose that all the roots of $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ are complex numbers lying on a circle in the complex plane centered at $0+0i$ and having radius $1.$ The sum of the reciprocals of the roots is necessarily

$a$

$b$

$c$

$-a$

$-b$

Respuesta: D

Conceptos:complex conjugates unit circle Vieta’s formulas

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Para un número complejo $r$ sobre la circunferencia unitaria, compara $\frac{1}{r}$ con $\overline r$

For a complex number $r$ on the unit circle, compare $\frac{1}{r}$ with $\overline r$

Pista grande:

Los coeficientes reales del polinomio hacen que la suma de las raíces sea real

Real polynomial coefficients make the sum of the roots real

Solución:

Si $|r|=1,$ entonces $\frac{1}{r}=\overline r.$ Por tanto, la suma de los recíprocos es el conjugado de la suma de las raíces. Por las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces es $-a,$ que es real. Su conjugado sigue siendo $-a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $|r|=1,$ then $\frac{1}{r}=\overline r.$ Therefore the sum of the reciprocals is the conjugate of the sum of the roots. By Vieta’s formulas, the sum of the roots is $-a,$ which is real. Its conjugate is still $-a.$

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años