Question

La suma de $n$ términos de una progresión aritmética es $153,$ y la diferencia común es $2.$ Si el primer término es entero y $n\gt1,$ el número de valores posibles de $n$ es:

The sum of $n$ terms of an arithmetic progression is $153,$ and the common difference is $2.$ If the first term is an integer, and $n\gt1,$ then the number of possible values for $n$ is:

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad conteo de factores

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Si el primer término es $a,$ la suma es $n(a+n-1)$

If the first term is $a,$ the sum is $n(a+n-1)$

Pista grande:

Enumera los divisores de $153=3^2\cdot17$ mayores que $1$

List the divisors of $153=3^2\cdot17$ that exceed $1$

Solución:

La fórmula de la serie aritmética se simplifica a $153=n(a+n-1).$ Así, $n$ debe dividir a $153,$ y cada $n$ así da un entero $a.$ Los divisores mayores que $1$ son $3,$ $9,$ $17,$ $51$ y $153,$ por lo que hay cinco posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The arithmetic-series formula simplifies to $153=n(a+n-1).$ Thus $n$ must divide $153,$ and every such $n$ gives an integer $a.$ The divisors greater than $1$ are $3,$ $9,$ $17,$ $51,$ and $153,$ so there are five possibilities.

Therefore, the correct answer is D.

1964 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años