Question

El polinomio $x^{2n}+1+(x+1)^{2n}$ no es divisible por $x^2+x+1$ si $n$ es igual a

The polynomial $x^{2n}+1+(x+1)^{2n}$ is not divisible by $x^2+x+1$ if $n$ equals

$17$

$20$

$21$

$64$

$65$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio raíces de la unidad exponenciación modular

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Evalúa el polinomio en una raíz cúbica no real de la unidad $\omega$

Evaluate the polynomial at a nonreal cube root of unity $\omega$

Pista grande:

Usa $1+\omega=-\omega^2$ y considera $n$ módulo $3$

Use $1+\omega=-\omega^2$ and consider $n$ modulo $3$

Solución:

Sea $\omega^2+\omega+1=0.$ Como $1+\omega=-\omega^2,$ al evaluar el polinomio en $\omega$ se obtiene $\omega^{2n}+1+\omega^{4n}.$ Esto es $0$ salvo que $\omega^{2n}=1,$ en cuyo caso es $3.$ Esto último ocurre exactamente cuando $n$ es divisible por $3.$ Entre las opciones, solo $21$ es divisible por $3,$ así que este es el valor para el cual falla la divisibilidad.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\omega^2+\omega+1=0.$ Since $1+\omega=-\omega^2,$ the polynomial evaluated at $\omega$ is $\omega^{2n}+1+\omega^{4n}.$ This is $0$ unless $\omega^{2n}=1,$ in which case it is $3.$ The latter occurs exactly when $n$ is divisible by $3.$ Among the choices only $21$ is divisible by $3,$ so that is the value for which divisibility fails.

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 Problema 28

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años