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1992 AMC 12 Problema 28

Intenta el Problema 28 del 1992 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1992 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

28.

Sea i=−1.i=\sqrt{-1}. El producto de las partes reales de las raíces de z2−z=5−5iz^2-z=5-5i es

Let i=−1.i=\sqrt{-1}. The product of the real parts of the roots of z2−z=5−5iz^2-z=5-5i is

−25-25

−6-6

−5-5

14\frac14

2525

Respuesta: B
Conceptos:complex quadraticsquare root of a complex numberVieta
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:

Aplica la fórmula cuadrática y escribe 21−20i=a+bi\sqrt{21-20i}=a+bi

Apply the quadratic formula and write 21−20i=a+bi\sqrt{21-20i}=a+bi

Pista grande:

Resuelve a2−b2=21a^2-b^2=21 y 2ab=−202ab=-20 para determinar las partes reales de las dos raíces

Solve a2−b2=21a^2-b^2=21 and 2ab=−202ab=-20 to determine the real parts of the two roots

Solución:

La fórmula cuadrática da z=1±21−20i2. z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2. Como (5−2i)2=21−20i,(5-2i)^2=21-20i, las raíces son 1+(5−2i)2=3−i,1−(5−2i)2=−2+i. \begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned} Sus partes reales tienen producto 3(−2)=−6.3(-2)=-6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The quadratic formula gives z=1±21−20i2. z=\frac{1\pm\sqrt{21-20i}}2. Since (5−2i)2=21−20i,(5-2i)^2=21-20i, the roots are 1+(5−2i)2=3−i,1−(5−2i)2=−2+i. \begin{aligned} \frac{1+(5-2i)}2&=3-i,\\ \frac{1-(5-2i)}2&=-2+i. \end{aligned} Their real parts have product 3(−2)=−6.3(-2)=-6.

Thus the correct answer is B.

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