Question

En el triángulo $ABC$ de la figura adjunta, $M$ es el punto medio del lado $BC,$ $AB=12,$ y $AC=16.$ Los puntos $E$ y $F$ se toman sobre $AC$ y $AB,$ respectivamente, y las rectas $EF$ y $AM$ se cortan en $G.$ Si $AE=2AF,$ entonces $\frac{EG}{GF}$ es igual a

In triangle $ABC$ shown in the adjoining figure, $M$ is the midpoint of side $BC,$ $AB=12,$ and $AC=16.$ Points $E$ and $F$ are taken on $AC$ and $AB,$ respectively, and lines $EF$ and $AM$ intersect at $G.$ If $AE=2AF,$ then $\frac{EG}{GF}$ equals

$\frac32$

$\frac43$

$\frac54$

$\frac65$

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Respuesta: A

Conceptos:vector mediana (geometría)razón y proporción

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Representa $B,C$ mediante los vectores $\mathbf b,\mathbf c$ con origen en $A$

Represent $B,C$ by vectors $\mathbf b,\mathbf c$ from $A$

Pista grande:

Si $F=t\mathbf b,$ entonces $E=\frac32t\mathbf c;$ iguala los coeficientes de $\mathbf b,\mathbf c$ de un punto que está en $EF$ y en $AM$

If $F=t\mathbf b,$ then $E=\frac32t\mathbf c;$ equate the $\mathbf b,\mathbf c$ coefficients of a point on $EF$ and on $AM$

Solución:

Coloca $A$ en el origen y escribe los vectores de posición de $B,C$ como $\mathbf b,\mathbf c.$ Si $F=t\mathbf b,$ entonces $AF=12t$ y $AE=24t,$ por lo que $E=(\frac{3t}{2})\mathbf c.$ Escribe $G=(1-u)F+uE.$ Como $G$ también está sobre la mediana $AM,$ sus coeficientes de $\mathbf b$ y $\mathbf c$ son iguales: $(1-u)t=\frac32ut.$ De aquí, $u=\frac{2}{5}.$ A lo largo de $FE,\frac{FG}{FE}=\frac{2}{5}$ y $\frac{EG}{FE}=\frac{3}{5},$ por lo que $\frac{EG}{GF}=\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put $A$ at the origin and write the position vectors of $B,C$ as $\mathbf b,\mathbf c.$ If $F=t\mathbf b,$ then $AF=12t$ and $AE=24t,$ so $E=(\frac{3t}{2})\mathbf c.$ Write $G=(1-u)F+uE.$ Because $G$ also lies on the median $AM,$ its $\mathbf b$ and $\mathbf c$ coefficients are equal: $(1-u)t=\frac32ut.$ Hence $u=\frac{2}{5}.$ Along $FE,\frac{FG}{FE}=\frac{2}{5}$ and $\frac{EG}{FE}=\frac{3}{5},$ so $\frac{EG}{GF}=\frac{3}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

1975 AMC 12 Problema 28

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años