Question

¿Cuántos triángulos de área positiva tienen como vértices puntos del plano $xy$ con coordenadas enteras $(x,y)$ que satisfacen $1\le x\le4$ y $1\le y\le4$ ?

How many triangles with positive area are there whose vertices are points in the $xy$ -plane whose coordinates are integers $(x,y)$ satisfying $1\le x\le4$ and $1\le y\le4?$

$496$

$500$

$512$

$516$

$560$

Respuesta: D

Conceptos:lattice points combinaciones collinear triples

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Comienza con las $\binom{16}{3}$ ternas y resta las que son colineales

Start with all $\binom{16}{3}$ triples and subtract collinear ones

Pista grande:

Tres puntos de la cuadrícula pueden ser colineales solo horizontalmente, verticalmente o en una diagonal de pendiente $\pm1$

Three collinear grid points can occur only horizontally, vertically, or on a slope- $\pm1$ diagonal

Solución:

Hay $\binom{16}{3}=560$ ternas de puntos de la cuadrícula. Las cuatro filas y las cuatro columnas aportan $8\binom43=32$ ternas colineales. Para pendiente $1,$ las longitudes de diagonales capaces de contener tres puntos son $3,$ $4,$ $3,$ que aportan $\binom33+\binom43+\binom33=6;$ la pendiente $-1$ aporta otras $6.$ Ninguna otra pendiente permite tres puntos de la red dentro de un arreglo de puntos de $4$ por $4.$ Así, el número de triángulos de área positiva es $560-32-6-6=516.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $\binom{16}{3}=560$ triples of grid points. The four rows and four columns contribute $8\binom43=32$ collinear triples. For slope $1,$ the diagonal lengths capable of containing three points are $3,$ $4,$ $3,$ contributing $\binom33+\binom43+\binom33=6;$ slope $-1$ contributes another $6.$ No other slope fits three lattice points inside a $4$ -by- $4$ point array. Thus the number of positive-area triangles is $560-32-6-6=516.$ Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años