Question

Dos cuerdas paralelas de una circunferencia miden $10$ y $14,$ y la distancia entre ellas es $6.$ La cuerda paralela a ambas y situada a mitad de camino entre ellas mide $\sqrt a,$ donde $a$ es

Two parallel chords in a circle have lengths $10$ and $14,$ and the distance between them is $6.$ The chord parallel to these chords and midway between them is of length $\sqrt a,$ where $a$ is

$144$

$156$

$168$

$176$

$184$

Respuesta: E

Conceptos:circle chords geometría analítica

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Si una cuerda está a distancia dirigida $y$ del centro, su semilongitud satisface $h^2+y^2=r^2$

If a chord is at signed distance $y$ from the center, its half-length satisfies $h^2+y^2=r^2$

Pista grande:

Haz que las distancias dirigidas de las cuerdas de $14$ y $10$ difieran en $6$ , y resta sus ecuaciones

Let the signed distances of the $14$ - and $10$ -chords differ by $6$ , and subtract their equations

Solución:

Sean las distancias dirigidas desde el centro hasta las cuerdas de $14$ y $10,$ respectivamente, $u$ y $v,$ con $u-v=6.$ Entonces $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.$ De aquí, $v^2-u^2=24,$ de modo que $(v-u)(v+u)=24.$ Como $v-u=-6,$ obtenemos $u+v=-4,$ y por tanto $u=1$ y $v=-5.$ La cuerda intermedia está a distancia dirigida $-2,$ mientras que $r^2=49+1=50.$ El cuadrado de su longitud es $4(50-4)=184,$ así que $a=184.$ La respuesta correcta es E.

Let the signed distances from the center to the $14$ - and $10$ -chords be $u$ and $v,$ with $u-v=6.$ Then $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.$ Hence $v^2-u^2=24,$ so $(v-u)(v+u)=24.$ Since $v-u=-6,$ we get $u+v=-4,$ and therefore $u=1$ and $v=-5.$ The midway chord is at signed distance $-2,$ while $r^2=49+1=50.$ Its squared length is $4(50-4)=184,$ so $a=184.$ Thus the correct answer is E.

1995 AMC 12 Problema 28

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años