1995 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Kim obtuvo calificaciones de $87,$ $83$ y $88$ en sus tres primeros exámenes de matemáticas. Si obtiene $90$ en el cuarto examen, su promedio

Kim earned scores of $87,$ $83$ and $88$ on her first three mathematics examinations. If Kim receives a score of $90$ on the fourth exam, then her average will

permanecerá igual

remain the same

aumentará en $1$

increase by $1$

aumentará en $2$

increase by $2$

aumentará en $3$

increase by $3$

aumentará en $4$

increase by $4$

Respuesta: B

Conceptos:arithmetic mean

Nivel de dificultad: 690

Pista pequeña:

Compara $90$ con el promedio de las tres primeras calificaciones

Compare $90$ with the average of the first three scores

Pista grande:

Calcula los totales anterior y nuevo antes de dividir entre el número de exámenes

Find the old and new totals before dividing by the number of exams

Solución:

Las tres primeras calificaciones suman $87+83+88=258,$ de modo que su promedio es $\frac{258}{3}=86.$ Al incluir la cuarta calificación, el total es $348,$ y el nuevo promedio es $\frac{348}{4}=87.$ Aumenta en $1,$ por lo que la respuesta correcta es B.

The first three scores total $87+83+88=258,$ so their average is $\frac{258}{3}=86.$ With the fourth score, the total is $348,$ and the new average is $\frac{348}{4}=87.$ It increases by $1,$ so the correct answer is B.

2.

Si $\sqrt{2+\sqrt{x}}=3,$ entonces $x=$

If $\sqrt{2+\sqrt{x}}=3,$ then $x=$

$1$

$\sqrt7$

$7$

$49$

$121$

Respuesta: D

Conceptos:radical equations

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Eleva ambos lados al cuadrado una vez para aislar $\sqrt{x}$

Square both sides once to isolate $\sqrt{x}$

Pista grande:

Después de aislar el radical interior, vuelve a elevar al cuadrado

After isolating the inner radical, square a second time

Solución:

Al elevar al cuadrado se obtiene $2+\sqrt{x}=9,$ así que $\sqrt{x}=7.$ Al elevar de nuevo al cuadrado resulta $x=49.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Squaring gives $2+\sqrt{x}=9,$ so $\sqrt{x}=7.$ Squaring again gives $x=49.$ Thus the correct answer is D.

3.

El precio total de un electrodoméstico en la tienda es $\$99.99.$ Un anuncio de televisión ofrece el mismo producto en tres cómodos pagos de $\$29.98$ y un cargo único de envío y manejo de $\$9.98.$ ¿Cuánto se ahorra al comprarlo al anunciante de televisión?

The total in-store price for an appliance is $\$99.99.$ A television commercial advertises the same product for three easy payments of $\$29.98$ and a one-time shipping and handling charge of $\$9.98.$ How much is saved by buying the appliance from the television advertiser?

$6$ centavos

$6$ cents

$7$ centavos

$7$ cents

$8$ centavos

$8$ cents

$9$ centavos

$9$ cents

$10$ centavos

$10$ cents

Respuesta: B

Conceptos:decimal arithmetic unit prices

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Suma los tres pagos y el cargo único

Add all three payments and the one-time charge

Pista grande:

Resta el total anunciado del precio en tienda y convierte dólares a centavos

Subtract the advertised total from the in-store price and convert dollars to cents

Solución:

El total anunciado es $3(29.98)+9.98=99.92$ dólares. El ahorro es $99.99-99.92=0.07$ dólares, es decir, $7$ centavos. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The advertised total is $3(29.98)+9.98=99.92$ dollars. The savings is $99.99-99.92=0.07$ dollars, or $7$ cents. Thus the correct answer is B.

4.

Si $M$ es el $30\%$ de $Q,$ $Q$ es el $20\%$ de $P,$ y $N$ es el $50\%$ de $P,$ entonces $\frac{M}{N}=$

If $M$ is $30\%$ of $Q,$ $Q$ is $20\%$ of $P,$ and $N$ is $50\%$ of $P,$ then $\frac{M}{N}=$

$\frac3{250}$

$\frac3{25}$

$1$

$\frac65$

$\frac43$

Respuesta: B

Conceptos:percentages ratios

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Expresa tanto $M$ como $N$ como múltiplos de $P$

Express both $M$ and $N$ as multiples of $P$

Pista grande:

Convierte los porcentajes en fracciones antes de formar $\frac{M}{N}$

Convert the percentages to fractions before forming $\frac{M}{N}$

Solución:

Tenemos $M=(0.30)(0.20)P=0.06P$ y $N=0.50P.$ Por consiguiente, $\frac{M}{N}=\frac{0.06}{0.50}=\frac{3}{25}.$ La respuesta correcta es B.

We have $M=(0.30)(0.20)P=0.06P$ and $N=0.50P.$ Hence $\frac{M}{N}=\frac{0.06}{0.50}=\frac{3}{25}.$ Thus the correct answer is B.

5.

Un campo rectangular mide $300$ pies de ancho y $400$ pies de largo. Un muestreo aleatorio indica que, en promedio, hay tres hormigas por pulgada cuadrada en todo el campo. [ $12$ pulgadas = $1$ pie.] De las siguientes opciones, la que mejor aproxima el número de hormigas en el campo es

A rectangular field is $300$ feet wide and $400$ feet long. Random sampling indicates that there are, on the average, three ants per square inch throughout the field. [ $12$ inches = $1$ foot.] Of the following, the number that most closely approximates the number of ants in the field is

$500$ mil

$500$ thousand

$5$ millones

$5$ million

$50$ millones

$50$ million

$500$ millones

$500$ million

$5$ mil millones

$5$ billion

Respuesta: C

Conceptos:area conversion estimación

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Primero calcula el área del campo en pies cuadrados

First find the field’s area in square feet

Pista grande:

Un pie cuadrado contiene $12^2$ pulgadas cuadradas

One square foot contains $12^2$ square inches

Solución:

El área es $300\cdot400=120{,}000$ pies cuadrados, o $120{,}000\cdot144=17{,}280{,}000$ pulgadas cuadradas. La estimación es $3(17{,}280{,}000)=51{,}840{,}000,$ que está más cerca de $50$ millones. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The area is $300\cdot400=120{,}000$ square feet, or $120{,}000\cdot144=17{,}280{,}000$ square inches. The estimate is $3(17{,}280{,}000)=51{,}840{,}000,$ closest to $50$ million. Thus the correct answer is C.

6.

La figura mostrada puede doblarse para formar un cubo. En el cubo resultante, ¿cuál de las caras con letra queda opuesta a la cara marcada $x$ ?

The figure shown can be folded into the shape of a cube. In the resulting cube, which of the lettered faces is opposite the face marked $x?$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Respuesta: C

Conceptos:cube nets spatial reasoning

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Mantén fija la cara $A$ y dobla cada cuadrado vecino $90^\circ$

Hold face $A$ fixed and fold each neighboring square by $90^\circ$

Pista grande:

Sigue la dirección normal exterior de cada cara al recorrer el desarrollo

Track the outward normal direction of each face as you move through the net

Solución:

Mantén $A$ como cara frontal. Al doblar, $x$ se convierte en la cara izquierda y $B$ en la cara superior. La cara $C,$ unida a la derecha de $B,$ se pliega entonces para formar la cara derecha, opuesta a $x.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Hold $A$ as the front face. Folding makes $x$ the left face and $B$ the top face. The face $C,$ attached to the right of $B,$ then folds to the right face, opposite $x.$ Thus the correct answer is C.

7.

El radio de la Tierra en el ecuador es aproximadamente $4000$ millas. Supón que un avión a reacción da una vuelta a la Tierra a una velocidad de $500$ millas por hora con respecto a ella. Si la altura de la trayectoria sobre el ecuador es despreciable, la mejor estimación entre las siguientes para el número de horas de vuelo es

The radius of Earth at the equator is approximately $4000$ miles. Suppose a jet flies once around Earth at a speed of $500$ miles per hour relative to Earth. If the flight path is a negligible height above the equator, then, among the following choices, the best estimate of the number of hours of flight is

$8$

$25$

$50$

$75$

$100$

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia tasa

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Aproxima la longitud del ecuador mediante $2\pi r$

Approximate the equator’s length with $2\pi r$

Pista grande:

Divide la distancia del viaje entre $500$ y usa una aproximación sencilla de $\pi$

Divide the trip distance by $500$ and use a simple estimate for $\pi$

Solución:

La longitud del ecuador es aproximadamente $2\pi(4000)=8000\pi$ millas. El tiempo de vuelo es $\frac{8000\pi}{500}=16\pi\approx50$ horas. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equator is approximately $2\pi(4000)=8000\pi$ miles long. The flight time is $\frac{8000\pi}{500}=16\pi\approx50$ hours. Thus the correct answer is C.

8.

En el triángulo $ABC,$ $\angle C=90^\circ,$ $AC=6$ y $BC=8.$ Los puntos $D$ y $E$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{BC},$ respectivamente, y $\angle BED=90^\circ.$ Si $DE=4,$ entonces $BD=$

In triangle $ABC,$ $\angle C=90^\circ,$ $AC=6$ and $BC=8.$ Points $D$ and $E$ are on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, and $\angle BED=90^\circ.$ If $DE=4,$ then $BD=$

$5$

$\frac{16}3$

$\frac{20}3$

$\frac{15}2$

$8$

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Los dos ángulos rectos muestran que $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$

The two right angles show that $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$

Pista grande:

Usa la semejanza entre $\triangle BDE$ y $\triangle BAC$

Use similarity between $\triangle BDE$ and $\triangle BAC$

Solución:

En el triángulo rectángulo grande, $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$ Como $\overline{DE}\parallel\overline{AC},$ los triángulos $BDE$ y $BAC$ son semejantes, con razón $\frac{DE}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$ Por tanto, $BD=(\frac{2}{3})(10)=\frac{20}{3}.$ La respuesta correcta es C.

The large right triangle has $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$ Since $\overline{DE}\parallel\overline{AC},$ triangles $BDE$ and $BAC$ are similar, with scale factor $\frac{DE}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$ Therefore $BD=(\frac{2}{3})(10)=\frac{20}{3}.$ Thus the correct answer is C.

9.

Considera la figura formada por un cuadrado, sus diagonales y los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos. El número total de triángulos de cualquier tamaño en la figura es

Consider the figure consisting of a square, its diagonals, and the segments joining the midpoints of opposite sides. The total number of triangles of any size in the figure is

$10$

$12$

$14$

$16$

$18$

Respuesta: D

Conceptos:geometric counting simetría

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Separa los triángulos por tamaño antes de contarlos

Separate the triangles by size before counting

Pista grande:

Cuenta una orientación y aprovecha la simetría rotacional del cuadrado

Count one orientation and use the square’s rotational symmetry

Solución:

Hay $8$ triángulos mínimos, cada uno limitado por medio lado, media diagonal y medio segmento medio. Hay $4$ triángulos cuya base es un lado completo y cuyo vértice es el centro, además de $4$ triángulos que son mitades del cuadrado cortadas por una diagonal. El total es $8+4+4=16.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $8$ smallest triangles, each bounded by a half-side, a half-diagonal, and a half-midline. There are $4$ triangles whose base is a full side and vertex is the center, and $4$ half-square triangles cut off by a diagonal. The total is $8+4+4=16.$ Thus the correct answer is D.

10.

El área del triángulo limitado por las rectas $y=x,$ $y=-x$ y $y=6$ es

The area of the triangle bounded by the lines $y=x,$ $y=-x$ and $y=6$ is

$12$

$12\sqrt2$

$24$

$24\sqrt2$

$36$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Determina dónde corta cada recta oblicua a $y=6$

Find where each slanted line meets $y=6$

Pista grande:

Usa el segmento horizontal sobre $y=6$ como base del triángulo

Use the horizontal segment on $y=6$ as the triangle’s base

Solución:

Los vértices son $(0,0),$ $(6,6),$ y $(-6,6).$ La base horizontal mide $12,$ y la altura es $6,$ por lo que el área es $\frac12(12)(6)=36.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The vertices are $(0,0),$ $(6,6),$ and $(-6,6).$ The horizontal base has length $12,$ and the height is $6,$ so the area is $\frac12(12)(6)=36.$ Thus the correct answer is E.

11.

¿Cuántos números de cuatro cifras en base $10,$ $N=\underline{a\,b\,c\,d},$ satisfacen las tres condiciones siguientes?

(i) $4{,}000\le N\lt6{,}000;$

(ii) $N$ es múltiplo de $5;$

(iii) $3\le b\lt c\le6.$

How many base $10$ four-digit numbers, $N=\underline{a\,b\,c\,d},$ satisfy all three of the following conditions?

(i) $4{,}000\le N\lt6{,}000;$

(ii) $N$ is a multiple of $5;$

(iii) $3\le b\lt c\le6.$

$10$

$18$

$24$

$36$

$48$

Respuesta: C

Conceptos:counting divisibilidad

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Determina los posibles dígitos $a$ y $d$ a partir de las condiciones (i) y (ii)

Determine the possible digits $a$ and $d$ from conditions (i) and (ii)

Pista grande:

Elige dos dígitos distintos entre $3,$ $4,$ $5,$ $6$ de modo que $b\lt c$

Choose two distinct digits from $3,$ $4,$ $5,$ $6$ for $b\lt c$

Solución:

El dígito de los millares $a$ es $4$ o $5,$ y la divisibilidad por $5$ hace que $d$ sea $0$ o $5.$ El par $(b,c)$ se obtiene eligiendo dos de $3,$ $4,$ $5,$ $6$ en orden creciente, lo que da $\binom42=6$ pares. Por tanto, el total es $2\cdot2\cdot6=24,$ y la respuesta correcta es C.

The thousands digit $a$ is $4$ or $5,$ and divisibility by $5$ makes $d$ either $0$ or $5.$ The pair $(b,c)$ is obtained by choosing two of $3,$ $4,$ $5,$ $6$ in increasing order, giving $\binom42=6$ pairs. Thus the count is $2\cdot2\cdot6=24,$ and the correct answer is C.

12.

Sea $f$ una función lineal tal que $f(1)\le f(2),$ $f(3)\ge f(4),$ y $f(5)=5.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Let $f$ be a linear function with the properties that $f(1)\le f(2),$ $f(3)\ge f(4),$ and $f(5)=5.$ Which of the following statements is true?

$f(0)\lt0$

$f(0)=0$

$f(1)\lt f(0)\lt f(-1)$

$f(0)=5$

$f(0)\gt5$

Respuesta: D

Conceptos:linear functions monotonicity

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Traduce cada desigualdad en una condición sobre la pendiente

Translate each inequality into a condition on the slope

Pista grande:

Las dos condiciones sobre la pendiente determinan juntas toda la función lineal

The two slope conditions together determine the entire linear function

Solución:

De $f(1)\le f(2),$ la pendiente es no negativa. De $f(3)\ge f(4),$ es no positiva. Por tanto, la pendiente es $0,$ así que $f$ es constante. Como $f(5)=5,$ tenemos $f(0)=5.$ La respuesta correcta es D.

From $f(1)\le f(2),$ the slope is nonnegative. From $f(3)\ge f(4),$ it is nonpositive. Thus the slope is $0,$ so $f$ is constant. Since $f(5)=5,$ we have $f(0)=5.$ Thus the correct answer is D.

13.

La suma siguiente es incorrecta. Puede hacerse correcta cambiando un dígito $d,$ en cada lugar donde aparezca, por otro dígito $e.$ Halla la suma de $d$ y $e.$

$\begin{array}{rrrrrrr}&7&4&2&5&8&6\\+&8&2&9&4&3&0\\\hline1&2&1&2&0&1&6\end{array}$

The addition below is incorrect. The display can be made correct by changing one digit $d,$ wherever it occurs, to another digit $e.$ Find the sum of $d$ and $e.$

$\begin{array}{rrrrrrr}&7&4&2&5&8&6\\+&8&2&9&4&3&0\\\hline1&2&1&2&0&1&6\end{array}$

$4$

$6$

$8$

$10$

más de $10$

more than $10$

Respuesta: C

Conceptos:column addition dígitos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Suma de derecha a izquierda y lleva cuenta de cada acarreo

Add from right to left and track each carry

Pista grande:

Recuerda que debe hacerse el mismo reemplazo cada vez que aparezca $d$

Remember that the same replacement must be made at every occurrence of $d$

Solución:

Las columnas de unidades, decenas y centenas funcionan con acarreos $0,$ $1,$ $1.$ En la columna de millares, reemplazar cada $2$ por $6$ da $6+9+1=16,$ de modo que el dígito del resultado también es $6.$ Las columnas siguientes dan $4+6+1=11$ y $7+8+1=16,$ produciendo la ecuación corregida $746586+869430=1616016.$ Así, $d+e=2+6=8,$ y la respuesta correcta es C.

The units, tens, and hundreds columns work with carries $0,$ $1,$ $1.$ In the thousands column, replacing every $2$ by $6$ gives $6+9+1=16,$ so the result digit is also $6.$ The next columns then give $4+6+1=11$ and $7+8+1=16,$ producing the corrected equation $746586+869430=1616016.$ Thus $d+e=2+6=8,$ and the correct answer is C.

14.

Si $f(x)=ax^4-bx^2+x+5$ y $f(-3)=2,$ entonces $f(3)=$

If $f(x)=ax^4-bx^2+x+5$ and $f(-3)=2,$ then $f(3)=$

$-5$

$-2$

$1$

$3$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:even and odd powers functions

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Los términos con potencias pares no cambian al reemplazar $x$ por $-x$

The terms with even powers are unchanged when $x$ is replaced by $-x$

Pista grande:

Compara $f(3)$ con $f(-3)$ sin calcular $a$ ni $b$

Compare $f(3)$ and $f(-3)$ without solving for $a$ or $b$

Solución:

Los términos de potencia par y la constante son iguales en $3$ y $-3,$ mientras que el término lineal cambia de $-3$ a $3.$ Por ello, $f(3)-f(-3)=6,$ así que $f(3)=2+6=8.$ La respuesta correcta es E.

The even-power terms and constant are the same at $3$ and $-3,$ while the linear term changes from $-3$ to $3.$ Hence $f(3)-f(-3)=6,$ so $f(3)=2+6=8.$ Thus the correct answer is E.

15.

Cinco puntos de una circunferencia están numerados $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ en sentido horario. Un insecto salta en sentido horario de un punto a otro: si está en un punto de número impar, avanza un punto, y si está en uno de número par, avanza dos puntos. Si comienza en el punto $5,$ después de $1995$ saltos estará en el punto

Five points on a circle are numbered $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ in clockwise order. A bug jumps in a clockwise direction from one point to another around the circle; if it is on an odd-numbered point, it moves one point, and if it is on an even-numbered point, it moves two points. If the bug begins on point $5,$ after $1995$ jumps it will be on point

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:cycles aritmética modular

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Escribe los puntos de llegada de los primeros saltos

Write down the landing points for the first few jumps

Pista grande:

Cuando se repita un punto, reduce el número de saltos restantes módulo la longitud del ciclo

Once a point repeats, reduce the remaining number of jumps modulo the cycle length

Solución:

Partiendo de $5,$ los puntos de llegada son $1,2,4,1,2,4,\ldots$ Por tanto, el ciclo $1,2,4$ tiene longitud $3.$ Como $1995$ es divisible por $3,$ el punto de llegada número $1995$ es $4.$ La respuesta correcta es D.

Starting at $5,$ the landing points are $1,2,4,1,2,4,\ldots$ Thus the cycle $1,2,4$ has length $3.$ Since $1995$ is divisible by $3,$ the $1995$ th landing point is $4.$ Thus the correct answer is D.

16.

Anita asiste a un partido de béisbol en Atlanta y estima que hay $50{,}000$ aficionados. Bob asiste a un partido en Boston y estima que hay $60{,}000$ aficionados. Un funcionario de la liga que conoce las asistencias reales señala lo siguiente:

i. La asistencia real en Atlanta difiere de la estimación de Anita en no más del $10\%$ de dicha estimación.

ii. La estimación de Bob difiere de la asistencia real en Boston en no más del $10\%$ de la asistencia real.

Redondeando al múltiplo de $1{,}000$ más cercano, la mayor diferencia posible entre las asistencias a los dos partidos es

Anita attends a baseball game in Atlanta and estimates that there are $50{,}000$ fans in attendance. Bob attends a baseball game in Boston and estimates that there are $60{,}000$ fans in attendance. A league official who knows the actual numbers attending the two games notes that:

i. The actual attendance in Atlanta is within $10\%$ of Anita’s estimate.

ii. Bob’s estimate is within $10\%$ of the actual attendance in Boston.

To the nearest $1{,}000,$ the largest possible difference between the numbers attending the two games is

$10{,}000$

$11{,}000$

$20{,}000$

$21{,}000$

$22{,}000$

Respuesta: E

Conceptos:percent error inequalities

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

En las dos afirmaciones, el $10\%$ se calcula sobre cantidades distintas

In the two statements, the $10\%$ is taken of different quantities

Pista grande:

Halla ambos intervalos de asistencia y maximiza el extremo mayor menos el extremo menor

Find both attendance intervals, then maximize the larger endpoint minus the smaller endpoint

Solución:

La asistencia real de Atlanta $A$ satisface $45{,}000\le A\le55{,}000.$ Para la asistencia real de Boston $B,$ la condición es $|60{,}000-B|\le0.1B,$ así que $\frac{60{,}000}{1.1}\le B\le\frac{60{,}000}{0.9}.$ Por tanto, la mayor diferencia es $\frac{60{,}000}{0.9}-45{,}000 =21{,}666.\overline6,$ que se redondea a $22{,}000.$ La respuesta correcta es E.

Atlanta’s actual attendance $A$ satisfies $45{,}000\le A\le55{,}000.$ For Boston’s actual attendance $B,$ the condition is $|60{,}000-B|\le0.1B,$ so $\frac{60{,}000}{1.1}\le B\le\frac{60{,}000}{0.9}.$ The largest difference is therefore $\frac{60{,}000}{0.9}-45{,}000 =21{,}666.\overline6,$ which rounds to $22{,}000.$ Thus the correct answer is E.

17.

Dado el pentágono regular $ABCDE,$ se puede trazar una circunferencia tangente a $\overline{DC}$ en $D$ y a $\overline{AB}$ en $A.$ El número de grados del arco menor $\overset{\frown}{AD}$ es

Given regular pentagon $ABCDE,$ a circle can be drawn that is tangent to $\overline{DC}$ at $D$ and to $\overline{AB}$ at $A.$ The number of degrees in minor arc $\overset{\frown}{AD}$ is

$72$

$108$

$120$

$135$

$144$

Respuesta: E

Conceptos:regular polygons tangents central angles

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Los radios que llegan a $A$ y $D$ son perpendiculares a los lados tangentes

The radii to $A$ and $D$ are perpendicular to the tangent sides

Pista grande:

Usa el ángulo exterior de $72^\circ$ de un pentágono regular para comparar $\overline{AB}$ con $\overline{DC}$

Use the $72^\circ$ exterior angle of a regular pentagon to compare $\overline{AB}$ and $\overline{DC}$

Solución:

Sea $O$ el centro de la circunferencia. La dirección cambia $72^\circ$ en cada vértice del pentágono, por lo que el ángulo agudo entre las rectas $AB$ y $DC$ es $36^\circ.$ Los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a estas rectas; para la circunferencia mostrada, el ángulo central menor $\angle AOD$ es el suplementario $180^\circ-36^\circ=144^\circ.$ Por tanto, el arco menor $\overset{\frown}{AD}$ mide $144^\circ,$ y la respuesta correcta es E.

Let $O$ be the circle’s center. The direction changes by $72^\circ$ at each vertex of the pentagon, so the acute angle between lines $AB$ and $DC$ is $36^\circ.$ The radii to their tangency points are perpendicular to these lines; for the circle shown, the minor central angle $\angle AOD$ is the supplementary angle $180^\circ-36^\circ=144^\circ.$ Therefore minor arc $\overset{\frown}{AD}$ measures $144^\circ,$ and the correct answer is E.

18.

Dos rayos con extremo común $O$ forman un ángulo de $30^\circ.$ El punto $A$ está en un rayo, el punto $B$ en el otro, y $AB=1.$ La mayor longitud posible de $OB$ es

Two rays with common endpoint $O$ form a $30^\circ$ angle. Point $A$ lies on one ray, point $B$ on the other ray, and $AB=1.$ The maximum possible length of $OB$ is

$1$

$\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$

$\sqrt3$

$2$

$\frac4{\sqrt3}$

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos discriminant

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Aplica la ley de los cosenos a $\triangle AOB$

Apply the Law of Cosines to $\triangle AOB$

Pista grande:

Considera la relación obtenida como una cuadrática en $OA$ y exige una solución real

Treat the resulting relation as a quadratic in $OA$ and require a real solution

Solución:

Sean $OA=x$ y $OB=y.$ La ley de los cosenos da $1=x^2+y^2-\sqrt3xy.$ Como cuadrática en $x,$ su discriminante es $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.$ Para que $x$ sea real se requiere $y\le2,$ y la igualdad se alcanza cuando $x=\sqrt3.$ Por ello, el máximo es $2,$ y la respuesta correcta es D.

Let $OA=x$ and $OB=y.$ The Law of Cosines gives $1=x^2+y^2-\sqrt3xy.$ As a quadratic in $x,$ this has discriminant $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.$ A real $x$ requires $y\le2,$ and equality is attained when $x=\sqrt3.$ Hence the maximum is $2,$ and the correct answer is D.

19.

El triángulo equilátero $DEF$ está inscrito en el triángulo equilátero $ABC$ como se muestra, con $\overline{DE}\perp\overline{BC}.$ La razón entre el área de $\triangle DEF$ y la de $\triangle ABC$ es

Equilateral triangle $DEF$ is inscribed in equilateral triangle $ABC$ as shown with $\overline{DE}\perp\overline{BC}.$ The ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of $\triangle ABC$ is

$\frac16$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac25$

$\frac12$

Respuesta: C

Conceptos:equilateral triangles coordinates area ratios

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Supón que el triángulo exterior tiene lado $1$ y el interior tiene lado $s$

Let the outer triangle have side $1$ and the inner triangle have side $s$

Pista grande:

Usa las pendientes de $60^\circ$ de los lados junto con el hecho de que $\overline{DE}$ es vertical

Use the $60^\circ$ side slopes together with the fact that $\overline{DE}$ is vertical

Solución:

Sea $ABC$ de lado $1,$ con $B=(0,0)$ y $C=(1,0).$ Si el lado interior es $s,$ escribe $D=(d,0)$ y $E=(d,s).$ Como $E$ está sobre $AC,$ $s=\sqrt3(1-d).$ El tercer vértice interior es $F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s),$ y $F$ está sobre $AB,$ por lo que $\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right),$ de donde $d=\frac{2s}{\sqrt3}.$ Al sustituir se obtiene $s=\frac{1}{\sqrt3}.$ Las áreas de triángulos equiláteros varían con el cuadrado de sus lados, así que la razón es $s^2=\frac{1}{3}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $ABC$ have side $1,$ with $B=(0,0)$ and $C=(1,0).$ If the inner side is $s,$ write $D=(d,0)$ and $E=(d,s).$ Since $E$ lies on $AC,$ $s=\sqrt3(1-d).$ The third inner vertex is $F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s),$ and $F$ lies on $AB,$ so $\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right),$ giving $d=\frac{2s}{\sqrt3}.$ Substitution yields $s=\frac{1}{\sqrt3}.$ Areas of equilateral triangles scale as the square of their sides, so the ratio is $s^2=\frac{1}{3}.$ Thus the correct answer is C.

20.

Si $a,$ $b$ y $c$ son tres números, no necesariamente distintos, elegidos al azar con reemplazo del conjunto $\{1,2,3,4,5\},$ la probabilidad de que $ab+c$ sea par es

If $a,$ $b$ and $c$ are three (not necessarily different) numbers chosen randomly and with replacement from the set $\{1,2,3,4,5\},$ the probability that $ab+c$ is even is

$\frac25$

$\frac{59}{125}$

$\frac12$

$\frac{64}{125}$

$\frac35$

Respuesta: B

Conceptos:paridad probability

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

La suma es par cuando $ab$ y $c$ tienen la misma paridad

The sum is even when $ab$ and $c$ have the same parity

Pista grande:

El producto $ab$ es impar solo cuando ambos factores elegidos son impares

The product $ab$ is odd only when both selected factors are odd

Solución:

Hay $3$ opciones impares y $2$ pares. El producto $ab$ es impar con probabilidad $\frac{9}{25}$ y par con probabilidad $\frac{16}{25}.$ Por tanto, $\begin{aligned} P(ab+c\text{ par}) &=\frac9{25}\cdot\frac35\\ &\quad{}+\frac{16}{25}\cdot\frac25\\ &=\frac{59}{125}. \end{aligned}$ La respuesta correcta es B.

There are $3$ odd and $2$ even choices. The product $ab$ is odd with probability $\frac{9}{25}$ and even with probability $\frac{16}{25}.$ Therefore $\begin{aligned} P(ab+c\text{ even}) &=\frac9{25}\cdot\frac35\\ &\quad{}+\frac{16}{25}\cdot\frac25\\ &=\frac{59}{125}. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

21.

Dos vértices no adyacentes de un rectángulo son $(4,3)$ y $(-4,-3),$ y las coordenadas de los otros dos vértices son enteras. El número de tales rectángulos es

Two nonadjacent vertices of a rectangle are $(4,3)$ and $(-4,-3),$ and the coordinates of the other two vertices are integers. The number of such rectangles is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:rectangles lattice points diagonals

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud y el mismo punto medio

A rectangle’s diagonals have equal length and the same midpoint

Pista grande:

Enumera los vectores enteros de longitud $5$ desde el origen e identifica los pares antipodales

Enumerate integer vectors of length $5$ from the origin, identifying antipodal pairs

Solución:

La diagonal dada tiene punto medio $(0,0)$ y semilongitud $5.$ Por tanto, la otra diagonal debe tener extremos $(u,v)$ y $(-u,-v)$ con $u^2+v^2=25.$ Recíprocamente, dos diagonales iguales con el mismo punto medio forman un rectángulo. Hay $12$ puntos enteros en esta circunferencia: $\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3). \end{gathered}$ Los puntos antipodales determinan la misma diagonal, lo que da $6$ posibilidades. Una es la diagonal dada y produce un caso degenerado, así que quedan $6-1=5$ rectángulos. La respuesta correcta es E.

The given diagonal has midpoint $(0,0)$ and half-length $5.$ The other diagonal must therefore have endpoints $(u,v)$ and $(-u,-v)$ with $u^2+v^2=25.$ Conversely, two equal diagonals with the same midpoint form a rectangle. There are $12$ integer points on this circle: $\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3). \end{gathered}$ Antipodal points determine the same diagonal, giving $6$ possibilities. One is the given diagonal itself, which is degenerate, so $6-1=5$ rectangles remain. Thus the correct answer is E.

22.

Se forma un pentágono al cortar una esquina triangular de una hoja rectangular. Los cinco lados del pentágono miden $13,$ $19,$ $20,$ $25$ y $31,$ aunque este no es necesariamente su orden alrededor del pentágono. El área del pentágono es

A pentagon is formed by cutting a triangular corner from a rectangular piece of paper. The five sides of the pentagon have lengths $13,$ $19,$ $20,$ $25$ and $31,$ although this is not necessarily their order around the pentagon. The area of the pentagon is

$459$

$600$

$680$

$720$

$745$

Respuesta: E

Conceptos:rectangles Pythagorean theorem area subtraction

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Dos lados del pentágono son las longitudes completas de los lados del rectángulo original

Two pentagon sides are the original rectangle’s full side lengths

Pista grande:

Busca dos diferencias entre las longitudes que, junto con una tercera longitud dada, formen un triángulo rectángulo

Look for two differences among the lengths that form the legs of a right triangle with a third listed length

Solución:

Los lados completos del rectángulo deben ser mayores que los dos segmentos restantes sobre esos mismos lados. La única asignación cuyas dos diferencias y el lado cortado restante forman un triángulo rectángulo es el rectángulo de $25$ por $31,$ con segmentos restantes $20$ y $19.$ La esquina eliminada tiene entonces catetos $25-20=5$ y $31-19=12,$ cuya hipotenusa es el lado dado $13.$ Así, el área del pentágono es $\begin{aligned} 25\cdot31-\frac12(5)(12) &=775-30\\ &=745. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The full rectangle sides must be longer than the two remnants on those same sides. The only assignment whose two differences and remaining cut side form a right triangle is the rectangle $25$ by $31,$ with remnants $20$ and $19.$ The removed corner then has legs $25-20=5$ and $31-19=12,$ whose hypotenuse is the listed side $13.$ Thus the pentagon’s area is $\begin{aligned} 25\cdot31-\frac12(5)(12) &=775-30\\ &=745. \end{aligned}$ Hence the correct answer is E.

23.

Los lados de un triángulo miden $11,$ $15,$ y $k,$ donde $k$ es un entero. ¿Para cuántos valores de $k$ es obtusángulo el triángulo?

The sides of a triangle have lengths $11,$ $15,$ and $k,$ where $k$ is an integer. For how many values of $k$ is the triangle obtuse?

$5$

$7$

$12$

$13$

$14$

Respuesta: D

Conceptos:desigualdad triangular obtuse triangles

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Primero usa la desigualdad triangular para acotar el entero $k$

First use the triangle inequality to bound the integer $k$

Pista grande:

Comprueba por separado la desigualdad de obtusidad cuando $15$ es el lado mayor y cuando lo es $k$

Test the obtuse inequality separately when $15$ is longest and when $k$ is longest

Solución:

La desigualdad triangular da $5\le k\le25.$ Para $k\le15,$ el lado mayor es $15,$ y el triángulo es obtusángulo cuando $15^2\gt11^2+k^2,$ lo que da $5\le k\le10,$ es decir, $6$ valores. Para $k\gt15,$ es obtusángulo cuando $k^2\gt11^2+15^2=346,$ lo que da $19\le k\le25,$ o $7$ valores. El total es $6+7=13,$ por lo que la respuesta correcta es D.

The triangle inequality gives $5\le k\le25.$ For $k\le15,$ the longest side is $15,$ and the triangle is obtuse when $15^2\gt11^2+k^2,$ which gives $5\le k\le10,$ or $6$ values. For $k\gt15,$ it is obtuse when $k^2\gt11^2+15^2=346,$ giving $19\le k\le25,$ or $7$ values. The total is $6+7=13,$ so the correct answer is D.

24.

Existen enteros positivos $A,$ $B,$ y $C,$ sin factor común mayor que $1,$ tales que $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.$ ¿Cuál es $A+B+C$ ?

There exist positive integers $A,$ $B,$ and $C,$ with no common factor greater than $1,$ such that $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.$ What is $A+B+C?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: A

Conceptos:logarithms factorización en primos

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Combina el lado izquierdo en un solo logaritmo

Combine the left side into one logarithm

Pista grande:

Usa $200=2^3\cdot5^2$ y compara los exponentes primos

Use $200=2^3\cdot5^2$ and compare prime exponents

Solución:

Al combinar logaritmos se obtiene $\log_{200}(5^A2^B)=C,$ por lo que $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.$ Entonces $A=2C$ y $B=3C.$ La terna positiva sin factor común es $(A,B,C)=(2,3,1),$ cuya suma es $6.$ La respuesta correcta es A.

Combining logarithms gives $\log_{200}(5^A2^B)=C,$ so $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.$ Hence $A=2C$ and $B=3C.$ The relatively prime positive triple is $(A,B,C)=(2,3,1),$ whose sum is $6.$ Thus the correct answer is A.

25.

Una lista de cinco enteros positivos tiene media $12$ y rango $18.$ Tanto la moda como la mediana son $8.$ ¿Cuántos valores distintos puede tener el segundo elemento mayor de la lista?

A list of five positive integers has mean $12$ and range $18.$ The mode and median are both $8.$ How many different values are possible for the second largest element of the list?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:media median moda integer cases

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Ordena los cinco enteros; la mediana y la moda obligan a que al menos dos términos sean $8$

Sort the five integers; the median and mode force at least two entries to equal $8$

Pista grande:

Sea $m$ el término menor y usa el rango y la suma total para expresar el segundo término mayor

Let the smallest entry be $m$ and use the range and total sum to express the second largest entry

Solución:

Escribe la lista ordenada como $m,8,8,d,m+18.$ (Si el cuarto término fuera $8,$ la suma y las condiciones de orden serían incompatibles.) Como el total es $5(12)=60,$ $m+8+8+d+(m+18)=60,$ de modo que $d=26-2m.$ Las condiciones $8\le d\le m+18$ y $m\le8$ dan $3\le m\le8.$ Estos seis valores producen $d=20,$ $18,$ $16,$ $14,$ $12,$ $10,$ todos válidos. Por tanto, hay $6$ posibilidades, y la respuesta correcta es B.

Write the sorted list as $m,8,8,d,m+18.$ (If the fourth entry were $8,$ the sum and ordering conditions would be impossible.) Since the total is $5(12)=60,$ $m+8+8+d+(m+18)=60,$ so $d=26-2m.$ The conditions $8\le d\le m+18$ and $m\le8$ give $3\le m\le8.$ These six values yield $d=20,$ $18,$ $16,$ $14,$ $12,$ $10,$ all valid. Thus there are $6$ possibilities, and the correct answer is B.

26.

En la figura, $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son diámetros de la circunferencia de centro $O,$ $\overline{AB}\perp\overline{CD},$ y la cuerda $\overline{DF}$ corta a $\overline{AB}$ en $E.$ Si $DE=6$ y $EF=2,$ entonces el área del círculo es

In the figure, $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are diameters of the circle with center $O,$ $\overline{AB}\perp\overline{CD},$ and chord $\overline{DF}$ intersects $\overline{AB}$ at $E.$ If $DE=6$ and $EF=2,$ then the area of the circle is

$23\pi$

$\frac{47}2\pi$

$24\pi$

$\frac{49}2\pi$

$25\pi$

Respuesta: C

Conceptos:intersecting chords coordinates circles

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

El teorema de las cuerdas que se intersecan da $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

Intersecting chords gives $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

Pista grande:

Coloca $O$ en el origen y expresa $F$ usando que $E$ divide $\overline{DF}$ en razón $3:1$

Place $O$ at the origin and express $F$ using the fact that $E$ divides $\overline{DF}$ in a $3:1$ ratio

Solución:

Sea $r$ el radio y $OE=x.$ El teorema de las cuerdas da $(r+x)(r-x)=6\cdot2,$ así que $r^2-x^2=12.$ Toma $O=(0,0),$ $D=(0,-r),$ y $E=(x,0).$ Como $DE:EF=3:1,$ $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}$ Como $F$ está en la circunferencia, $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,$ por lo que $r^2=2x^2.$ Así, $x^2=12$ y $r^2=24.$ El área es $24\pi,$ y la respuesta correcta es C.

Let the radius be $r$ and $OE=x.$ Intersecting chords gives $(r+x)(r-x)=6\cdot2,$ so $r^2-x^2=12.$ Put $O=(0,0),$ $D=(0,-r),$ and $E=(x,0).$ Since $DE:EF=3:1,$ $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}$ Because $F$ lies on the circle, $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,$ so $r^2=2x^2.$ Therefore $x^2=12$ and $r^2=24.$ The area is $24\pi,$ so the correct answer is C.

27.

Considera el arreglo triangular de números que tiene $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ en los lados y cuyos números interiores se obtienen sumando los dos números adyacentes de la fila anterior. Se muestran las filas $1$ a $6.$

$\begin{array}{cccccc} &&0&&&\\ &&1&1&&\\ &2&2&2&&\\ &3&4&4&3&\\ 4&7&8&7&4&\\ 5&11&15&15&11&5 \end{array}$

Sea $f(n)$ la suma de los números de la fila $n.$ ¿Cuál es el residuo al dividir $f(100)$ entre $100$ ?

Consider the triangular array of numbers with $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ along the sides and interior numbers obtained by adding the two adjacent numbers in the previous row. Rows $1$ through $6$ are shown.

$\begin{array}{cccccc} &&0&&&\\ &&1&1&&\\ &2&2&2&&\\ &3&4&4&3&\\ 4&7&8&7&4&\\ 5&11&15&15&11&5 \end{array}$

Let $f(n)$ denote the sum of the numbers in row $n.$ What is the remainder when $f(100)$ is divided by $100?$

$12$

$30$

$50$

$62$

$74$

Respuesta: E

Conceptos:recurrences aritmética modular

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Relaciona la suma de una fila con la anterior contando cuántas veces contribuye cada término previo

Relate a row’s sum to the previous row’s sum by counting how often each old entry contributes

Pista grande:

Resuelve la recurrencia resultante y luego calcula la potencia de $2$ módulo $100$

Solve the resulting recurrence, then compute the power of $2$ modulo $100$

Solución:

Cada término anterior contribuye a dos términos de la fila siguiente, y los dos nuevos términos de los extremos aportan un $2$ adicional. Por tanto, $f(n)=2f(n-1)+2,$ con $f(1)=0.$ Así, $f(n)=2^n-2.$ Como $2^{20}\equiv76\pmod{100}$ y $76^2\equiv76\pmod{100},$ tenemos $2^{100}\equiv76\pmod{100}.$ Por consiguiente, $f(100)\equiv74\pmod{100},$ y la respuesta correcta es E.

Every previous entry contributes to two entries of the next row, and the two new boundary entries contribute an additional $2.$ Thus $f(n)=2f(n-1)+2,$ with $f(1)=0.$ Hence $f(n)=2^n-2.$ Since $2^{20}\equiv76\pmod{100}$ and $76^2\equiv76\pmod{100},$ we have $2^{100}\equiv76\pmod{100}.$ Therefore $f(100)\equiv74\pmod{100},$ and the correct answer is E.

28.

Dos cuerdas paralelas de una circunferencia miden $10$ y $14,$ y la distancia entre ellas es $6.$ La cuerda paralela a ambas y situada a mitad de camino entre ellas mide $\sqrt a,$ donde $a$ es

Two parallel chords in a circle have lengths $10$ and $14,$ and the distance between them is $6.$ The chord parallel to these chords and midway between them is of length $\sqrt a,$ where $a$ is

$144$

$156$

$168$

$176$

$184$

Respuesta: E

Conceptos:circle chords geometría analítica

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Si una cuerda está a distancia dirigida $y$ del centro, su semilongitud satisface $h^2+y^2=r^2$

If a chord is at signed distance $y$ from the center, its half-length satisfies $h^2+y^2=r^2$

Pista grande:

Haz que las distancias dirigidas de las cuerdas de $14$ y $10$ difieran en $6$ , y resta sus ecuaciones

Let the signed distances of the $14$ - and $10$ -chords differ by $6$ , and subtract their equations

Solución:

Sean las distancias dirigidas desde el centro hasta las cuerdas de $14$ y $10,$ respectivamente, $u$ y $v,$ con $u-v=6.$ Entonces $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.$ De aquí, $v^2-u^2=24,$ de modo que $(v-u)(v+u)=24.$ Como $v-u=-6,$ obtenemos $u+v=-4,$ y por tanto $u=1$ y $v=-5.$ La cuerda intermedia está a distancia dirigida $-2,$ mientras que $r^2=49+1=50.$ El cuadrado de su longitud es $4(50-4)=184,$ así que $a=184.$ La respuesta correcta es E.

Let the signed distances from the center to the $14$ - and $10$ -chords be $u$ and $v,$ with $u-v=6.$ Then $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.$ Hence $v^2-u^2=24,$ so $(v-u)(v+u)=24.$ Since $v-u=-6,$ we get $u+v=-4,$ and therefore $u=1$ and $v=-5.$ The midway chord is at signed distance $-2,$ while $r^2=49+1=50.$ Its squared length is $4(50-4)=184,$ so $a=184.$ Thus the correct answer is E.

29.

¿Para cuántos conjuntos de tres enteros positivos $\{a,b,c\}$ se cumple que $a\cdot b\cdot c=2310$ ?

For how many three-element sets of positive integers $\{a,b,c\}$ is it true that $a\cdot b\cdot c=2310?$

$32$

$36$

$40$

$43$

$45$

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos set partitions

Nivel de dificultad: 2280

Pista pequeña:

Factoriza $2310$ en primos distintos y asigna cada primo a uno de los factores

Factor $2310$ into distinct primes and assign each prime to one of the factors

Pista grande:

Cuenta por separado los casos en que un factor es $1$ y aquellos en que los tres factores son mayores que $1$

Count separately the cases in which one factor is $1$ and in which all three factors exceed $1$

Solución:

Como $2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,$ cada primo pertenece exactamente a uno de los tres factores. Si todos los factores son mayores que $1,$ sus grupos no ordenados de primos forman una partición de cinco objetos en tres bloques no vacíos, contada por $S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.$ Si un factor es $1,$ los primos se dividen en dos bloques no vacíos, lo que da $S(5,2)=2^4-1=15.$ Los factores son distintos porque sus conjuntos disjuntos de primos son diferentes. Por tanto, el total es $25+15=40,$ y la respuesta correcta es C.

Since $2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,$ each prime belongs to exactly one of the three factors. If all factors exceed $1,$ their unordered prime groups form a partition of five objects into three nonempty blocks, counted by $S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.$ If one factor is $1,$ the primes are partitioned into two nonempty blocks, giving $S(5,2)=2^4-1=15.$ The factors are distinct because their disjoint prime sets differ. Thus the total is $25+15=40,$ and the correct answer is C.

30.

Se forma un cubo grande apilando $27$ cubos unitarios. Un plano es perpendicular a una de las diagonales espaciales del cubo grande y biseca esa diagonal. El número de cubos unitarios que interseca el plano es

A large cube is formed by stacking $27$ unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: D

Conceptos:three-dimensional coordinates funciones generatrices

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Modela el cubo grande como $[0,3]^3$ y escribe el plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal

Model the large cube as $[0,3]^3$ and write the plane through its center perpendicular to the diagonal

Pista grande:

Clasifica cada cubo unitario por su valor mínimo de $x+y+z$ y determina qué sumas permiten una intersección

Index each unit cube by its minimum value of $x+y+z$ and determine which index sums allow an intersection

Solución:

Toma el cubo grande como $[0,3]^3.$ El plano es $x+y+z=\frac{9}{2}.$ Un cubo unitario con esquina inferior $(i,j,k),$ donde $i,j,k\in\{0,1,2\},$ contiene valores de $x+y+z$ desde $s=i+j+k$ hasta $s+3.$ Interseca el plano exactamente cuando $s=2,$ $s=3,$ o $s=4.$ Los coeficientes de $x^2,$ $x^3,$ $x^4$ en $(1+x+x^2)^3$ son $6,$ $7,$ $6.$ Así, el plano interseca $6+7+6=19$ cubos unitarios, y la respuesta correcta es D.

Take the large cube as $[0,3]^3.$ The plane is $x+y+z=\frac{9}{2}.$ A unit cube with lower corner $(i,j,k),$ where $i,j,k\in\{0,1,2\},$ contains values of $x+y+z$ from $s=i+j+k$ to $s+3.$ It intersects the plane exactly when $s=2,$ $s=3,$ or $s=4.$ The coefficients of $x^2,$ $x^3,$ $x^4$ in $(1+x+x^2)^3$ are $6,$ $7,$ $6.$ Thus the plane intersects $6+7+6=19$ unit cubes, and the correct answer is D.

Problemas del 1995 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande: