Question

Se forma un cubo grande apilando $27$ cubos unitarios. Un plano es perpendicular a una de las diagonales espaciales del cubo grande y biseca esa diagonal. El número de cubos unitarios que interseca el plano es

A large cube is formed by stacking $27$ unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Respuesta: D

Conceptos:three-dimensional coordinates funciones generatrices

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Modela el cubo grande como $[0,3]^3$ y escribe el plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal

Model the large cube as $[0,3]^3$ and write the plane through its center perpendicular to the diagonal

Pista grande:

Clasifica cada cubo unitario por su valor mínimo de $x+y+z$ y determina qué sumas permiten una intersección

Index each unit cube by its minimum value of $x+y+z$ and determine which index sums allow an intersection

Solución:

Toma el cubo grande como $[0,3]^3.$ El plano es $x+y+z=\frac{9}{2}.$ Un cubo unitario con esquina inferior $(i,j,k),$ donde $i,j,k\in\{0,1,2\},$ contiene valores de $x+y+z$ desde $s=i+j+k$ hasta $s+3.$ Interseca el plano exactamente cuando $s=2,$ $s=3,$ o $s=4.$ Los coeficientes de $x^2,$ $x^3,$ $x^4$ en $(1+x+x^2)^3$ son $6,$ $7,$ $6.$ Así, el plano interseca $6+7+6=19$ cubos unitarios, y la respuesta correcta es D.

Take the large cube as $[0,3]^3.$ The plane is $x+y+z=\frac{9}{2}.$ A unit cube with lower corner $(i,j,k),$ where $i,j,k\in\{0,1,2\},$ contains values of $x+y+z$ from $s=i+j+k$ to $s+3.$ It intersects the plane exactly when $s=2,$ $s=3,$ or $s=4.$ The coefficients of $x^2,$ $x^3,$ $x^4$ in $(1+x+x^2)^3$ are $6,$ $7,$ $6.$ Thus the plane intersects $6+7+6=19$ unit cubes, and the correct answer is D.

1995 AMC 12 Problema 30

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años