Question

Sea

$F=\log\frac{1+x}{1-x}.$

Obtén una nueva función $G$ reemplazando cada $x$ de $F$ por

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$

y simplifica. La expresión simplificada $G$ es igual a:

Let

$F=\log\frac{1+x}{1-x}.$

Form a new function $G$ by replacing each $x$ in $F$ by

$\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$

and simplify. The simplified expression $G$ is equal to:

$-F$

$F$

$3F$

$F^3$

$F^3-F$

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Llama $u$ a la fracción sustituida y simplifica $\frac{1+u}{1-u}$

Call the substituted fraction $u$ and simplify $\frac{1+u}{1-u}$

Pista grande:

Su numerador y su denominador se factorizan como cubos

Its numerator and denominator factor as cubes

Solución:

Para $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$ $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Por tanto, $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,$ así que $G=3F.$

Así, la respuesta correcta es C.

For $u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},$ $\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}$ Therefore $G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,$ so $G=3F.$

Thus, the correct answer is C.

1963 AMC 12 Problema 30

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años