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1975 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1975 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1975 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Sea x=cos⁡36∘−cos⁡72∘.x=\cos36^\circ-\cos72^\circ. Entonces xx es igual a

Let x=cos⁡36∘−cos⁡72∘.x=\cos36^\circ-\cos72^\circ. Then xx equals

13\frac13

12\frac12

3−63-\sqrt6

23−32\sqrt3-3

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B
Conceptos:identidad trigonométricamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:

Sean w=cos⁡36∘w=\cos36^\circ y y=cos⁡72∘y=\cos72^\circ

Let w=cos⁡36∘w=\cos36^\circ and y=cos⁡72∘y=\cos72^\circ

Pista grande:

Usa y=2w2−1y=2w^2-1 y w=1−2y2w=1-2y^2, y después suma las ecuaciones

Use y=2w2−1y=2w^2-1 and w=1−2y2w=1-2y^2, then add the equations

Solución:

Sean w=cos⁡36∘w=\cos36^\circ y y=cos⁡72∘.y=\cos72^\circ. Las identidades de ángulo doble dan y=2w2−1,w=1−2y2. y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2. Al sumarlas se obtiene w+y=2(w2−y2)=2(w−y)(w+y). \begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned} Como w+y≠0,w+y\ne0, al dividir resulta w−y=12.w-y=\frac{1}{2}. Por tanto, x=12.x=\frac{1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set w=cos⁡36∘w=\cos36^\circ and y=cos⁡72∘.y=\cos72^\circ. The double-angle identities give y=2w2−1,w=1−2y2. y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2. Adding yields w+y=2(w2−y2)=2(w−y)(w+y). \begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned} Since w+y≠0,w+y\ne0, division gives w−y=12.w-y=\frac{1}{2}. Thus x=12.x=\frac{1}{2}.

Therefore, the correct answer is B.

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