Question

Para cualquier conjunto $S,$ sea $|S|$ el número de elementos de $S,$ y sea $n(S)$ el número de subconjuntos de $S,$ incluidos el conjunto vacío y el propio $S$ . Si $A,$ $B,$ y $C$ son conjuntos para los cuales $\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}$ entonces ¿cuál es el menor valor posible de $|A\cap B\cap C|$ ?

For any set $S,$ let $|S|$ denote the number of elements in $S,$ and let $n(S)$ be the number of subsets of $S,$ including the empty set and the set $S$ itself. If $A,$ $B,$ and $C$ are sets for which $\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}$ then what is the minimum possible value of $|A\cap B\cap C|?$

$96$

$97$

$98$

$99$

$100$

Respuesta: B

Conceptos:set cardinality subconjuntos powers of two extremal counting

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Usa $n(S)=2^{|S|}$ y determina $|C|$ y $|A\cup B\cup C|$

Use $n(S)=2^{|S|}$ and determine $|C|$ and $|A\cup B\cup C|$

Pista grande:

Dentro de la unión, cuenta cuántos elementos pueden omitir $A,$ $B,$ y $C$

Within the union, count how many elements each of $A,$ $B,$ and $C$ can omit

Solución:

Sean $c=|C|$ y $u=|A\cup B\cup C|.$ Como $n(S)=2^{|S|},$ la ecuación se convierte en $2^{101}+2^c=2^u.$ Los dos sumandos deben ser iguales, de modo que $c=101$ y $u=102.$ Dentro de la unión, $A,$ $B,$ y $C$ omiten $2,$ $2,$ y $1$ elementos. Así, como máximo cinco elementos distintos faltan de la intersección triple, lo que da $|A\cap B\cap C|\ge97.$ La igualdad se alcanza haciendo distintas esas omisiones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $c=|C|$ and $u=|A\cup B\cup C|.$ Since $n(S)=2^{|S|},$ the equation becomes $2^{101}+2^c=2^u.$ The two summands must be equal, so $c=101$ and $u=102.$ Within the union, $A,$ $B,$ and $C$ omit $2,$ $2,$ and $1$ elements. Thus at most five distinct elements are absent from the triple intersection, giving $|A\cap B\cap C|\ge97.$ Equality is attained by making those omissions distinct.

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 Problema 30

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años