Question

Cada una de las ecuaciones $3x^2-2=25,$ $(2x-1)^2=(x-1)^2,$ $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}$ tiene:

Each of the equations $3x^2-2=25,$ $(2x-1)^2=(x-1)^2,$ $\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}$ has:

dos raíces enteras

two integral roots

ninguna raíz mayor que $3$

no root greater than $3$

ninguna raíz igual a cero

no root zero

solamente una raíz

only one root

una raíz negativa y una positiva

one negative root and one positive root

Respuesta: B

Conceptos:equation solving radical domain common property

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Resuelve cada ecuación por separado y compara las propiedades de sus raíces

Solve each equation separately and compare the properties of their roots

Pista grande:

Para la ecuación con radicales, descarta los candidatos que hagan negativo cualquiera de los radicandos

For the radical equation, reject candidates that make either radicand negative

Solución:

La primera ecuación da $x=\pm3.$ Al factorizar la diferencia de cuadrados en la segunda se obtiene $\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}$ de modo que $x=0$ o $\frac{2}{3}.$ Al elevar al cuadrado la tercera se obtiene $x^2-x-6=0,$ con candidatos $3$ y $-2;$ solamente $3$ satisface las restricciones del dominio real. Todas las raíces obtenidas son a lo sumo $3.$

Por lo tanto, ninguna ecuación tiene una raíz mayor que $3,$ y la respuesta correcta es B.

The first equation gives $x=\pm3.$ Factoring the difference of squares in the second gives $\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}$ so $x=0$ or $\frac{2}{3}.$ Squaring the third gives $x^2-x-6=0,$ with candidates $3$ and $-2;$ only $3$ satisfies the real-domain restrictions. Every root obtained is at most $3.$

Thus, each equation has no root greater than $3,$ and the correct answer is B.

1955 AMC 12 Problema 30

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años