Question

Una hoja rectangular de papel de $6$ pulgadas de ancho se dobla como en el diagrama, de modo que una esquina toque el lado opuesto. La longitud en pulgadas del pliegue $L$ , en función del ángulo $\theta$ , es:

A rectangular piece of paper $6$ inches wide is folded as in the diagram so that one corner touches the opposite side. The length in inches of the crease $L$ in terms of angle $\theta$ is:

$3\sec^2\theta\csc\theta$

$6\sin\theta\sec\theta$

$3\sec\theta\csc\theta$

$6\sec\theta\csc^2\theta$

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: A

Conceptos:plegado de papel trigonometría triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Sea $h$ la altura de la hoja rectangular y usa las longitudes iguales creadas por el pliegue

Let $h$ be the height of the rectangular sheet and use the equal lengths created by the fold

Pista grande:

El diagrama da $\frac{6}{h}=\sin(2\theta)$ y $\frac{L}{h}=\sec\theta$

The diagram gives $\frac{6}{h}=\sin(2\theta)$ and $\frac{L}{h}=\sec\theta$

Solución:

Sea $h$ la altura de la hoja. Los triángulos rectángulos congruentes creados al reflejar la esquina doblada respecto del pliegue dan $\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,$ así que $h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}.$ También dan $\frac{L}{h}=\sec\theta.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $h$ be the sheet’s height. The congruent right triangles created by reflecting the folded corner across the crease give $\frac6h=\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,$ so $h=\frac{3}{\sin\theta\cos\theta}.$ They also give $\frac{L}{h}=\sec\theta.$ Hence $\begin{aligned} L&=h\sec\theta\\ &=\frac{3\sec\theta} {\sin\theta\cos\theta}\\ &=3\sec^2\theta\csc\theta. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

1972 AMC 12 Problema 30

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años