Question

En la figura, $\triangle ABC$ tiene $\angle A=45^\circ$ y $\angle B=30^\circ.$ Una recta $DE,$ con $D$ sobre $AB$ y $\angle ADE=60^\circ,$ divide $\triangle ABC$ en dos partes de igual área. (Nota: la figura puede no ser exacta; quizá $E$ esté sobre $CB$ en lugar de $AC.$ ) La razón $\frac{AD}{AB}$ es

In the figure, $\triangle ABC$ has $\angle A=45^\circ$ and $\angle B=30^\circ.$ A line $DE,$ with $D$ on $AB$ and $\angle ADE=60^\circ,$ divides $\triangle ABC$ into two pieces of equal area. (Note: the figure may not be accurate; perhaps $E$ is on $CB$ instead of $AC.$ ) The ratio $\frac{AD}{AB}$ is

$\frac1{\sqrt2}$

$\frac2{2+\sqrt2}$

$\frac1{\sqrt3}$

$\frac1{\sqrt[3]{6}}$

$\frac1{\sqrt[4]{12}}$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo similar scaling trigonometría

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Escala de modo que $AB=1$ y coloca $A=(0,0),\ B=(1,0)$

Scale so $AB=1$ and place $A=(0,0),\ B=(1,0)$

Pista grande:

Halla la altura de $C$ y la de $E$ en términos de $d=AD$ ; luego iguala la mitad del área total al área de $\triangle ADE$

Find the height of $C$ and the height of $E$ in terms of $d=AD$ , then equate half the total area to the area of $\triangle ADE$

Solución:

Tomemos $AB=1,\ A=(0,0),$ y $B=(1,0).$ Como $\angle A=45^\circ,$ el lado $AC$ se encuentra sobre $y=x.$ La recta que pasa por $B$ y forma un ángulo de $30^\circ$ con $BA$ la interseca a la altura $h_C=\frac1{1+\sqrt3}.$ Sea $d=AD.$ El rayo $DE$ tiene pendiente $-\sqrt3,$ así que su intersección con $y=x$ tiene altura $h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.$ La igualdad de las áreas exige $\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}$ Así, $\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $AB=1,\ A=(0,0),$ and $B=(1,0).$ Since $\angle A=45^\circ,$ side $AC$ lies on $y=x.$ The line through $B$ making angle $30^\circ$ with $BA$ meets it at height $h_C=\frac1{1+\sqrt3}.$ Let $d=AD.$ The ray $DE$ has slope $-\sqrt3,$ so its intersection with $y=x$ has height $h_E=\frac{\sqrt3\,d}{1+\sqrt3}.$ Equal areas require $\frac12d h_E=\frac12\left(\frac12h_C\right).$ Therefore $\begin{aligned} \frac{\sqrt3\,d^2}{2(1+\sqrt3)} &=\frac1{4(1+\sqrt3)},\\ d^2&=\frac1{2\sqrt3} =\frac1{\sqrt{12}}. \end{aligned}$ Hence $\frac{AD}{AB}=d=\frac{1}{\sqrt[4]{12}}.$

Thus the correct answer is E.

1987 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años