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1996 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1996 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1996 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

Un hexágono inscrito en un círculo tiene tres lados consecutivos de longitud 33 cada uno y otros tres lados consecutivos de longitud 55 cada uno. La cuerda que divide el hexágono en dos trapecios, uno con tres lados de longitud 33 cada uno y el otro con tres lados de longitud 55 cada uno, tiene longitud mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos coprimos. Halla m+n.m+n.

A hexagon inscribed in a circle has three consecutive sides each of length 33 and three consecutive sides each of length 5.5. The chord of the circle that divides the hexagon into two trapezoids, one with three sides each of length 33 and the other with three sides each of length 5,5, has length equal to mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m+n.

309309

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409409

Respuesta: E
Conceptos:cyclic polygonstrigonometríatriple-angle identities
Nivel de dificultad: 2330
Pista pequeña:

Sean α\alpha y β\beta los semiángulos centrales subtendidos por los lados de longitudes 33 y 55

Let α\alpha and β\beta be the half-central angles subtended by sides 33 and 55

Pista grande:

Usa α+β=60∘\alpha+\beta=60^\circ y la razón de las cuerdas para hallar sin⁡2α\sin^2\alpha, y luego aplica sin⁡3αsin⁡α\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

Use α+β=60∘\alpha+\beta=60^\circ and the chord ratio to find sin⁡2α\sin^2\alpha, then apply sin⁡3αsin⁡α\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

Solución:

Sea RR el radio del círculo, y sean α,β\alpha,\beta los semiángulos centrales correspondientes a los lados 3,5.3,5. Entonces 3=2Rsin⁡α,3=2R\sin\alpha, 5=2Rsin⁡β,5=2R\sin\beta, y α+β=60∘.\alpha+\beta=60^\circ. Por tanto, 53=sin⁡(60∘−α)sin⁡α\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha} =32cot⁡α−12,=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12, de modo que tan⁡α=3313\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13} y sin⁡2α=27196.\sin^2\alpha=\frac{27}{196}. La cuerda divisoria abarca los tres lados consecutivos de longitud 3,3, así que L3=sin⁡3αsin⁡α\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha} =3−4sin⁡2α=3−2749=12049.=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}. Por consiguiente, L=36049,L=\frac{360}{49}, de modo que m+n=409.m+n=409. La respuesta correcta es E.

Let the circle have radius R,R, and let α,β\alpha,\beta be the half-central angles for the sides 3,5.3,5. Then 3=2Rsin⁡α,3=2R\sin\alpha, 5=2Rsin⁡β,5=2R\sin\beta, and α+β=60∘.\alpha+\beta=60^\circ. Thus 53=sin⁡(60∘−α)sin⁡α\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha} =32cot⁡α−12,=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12, so tan⁡α=3313\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13} and sin⁡2α=27196.\sin^2\alpha=\frac{27}{196}. The dividing chord spans the three consecutive sides of length 3,3, so L3=sin⁡3αsin⁡α\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha} =3−4sin⁡2α=3−2749=12049.=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}. Therefore L=36049,L=\frac{360}{49}, so m+n=409.m+n=409. The correct answer is E.

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