Soluciones del 1996 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La suma siguiente es incorrecta. ¿Cuál es la cifra mayor que se puede cambiar para que la suma sea correcta? $\begin{array}{r} 641\\ 852\\ {}+973\\ \hline 2456 \end{array}$

The addition below is incorrect. What is the largest digit that can be changed to make the addition correct? $\begin{array}{r} 641\\ 852\\ {}+973\\ \hline 2456 \end{array}$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:addition valor posicional

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Compara la suma mostrada con la suma real de los tres sumandos

Compare the displayed sum with the actual sum of the three addends

Pista grande:

La corrección debe reducir el total en una unidad de una posición determinada

The correction must lower the total by one unit in a particular place

Solución:

La suma de los tres sumandos es $641+852+973=2466,$ que excede en $10$ el resultado correcto. Cambiar la cifra de las decenas $7$ de $973$ por $6$ reduce la suma en $10$ y da $2456.$ Ninguna cifra mayor de las opciones permite efectuar ese cambio, así que la respuesta correcta es D.

The three addends total $641+852+973=2466,$ which is $10$ too large. Changing the tens digit $7$ in $973$ to $6$ lowers the sum by $10$ and gives $2456.$ No larger listed digit can make that change, so the correct answer is D.

2.

Cada día, Walter recibe $\$3$ por hacer sus tareas domésticas o $\$5$ por hacerlas excepcionalmente bien. Después de hacerlas todos los días durante $10$ días, Walter ha recibido un total de $\$36.$ ¿Cuántos días las hizo excepcionalmente bien?

Each day Walter gets $\$3$ for doing his chores or $\$5$ for doing them exceptionally well. After $10$ days of doing his chores daily, Walter has received a total of $\$36.$ On how many days did Walter do them exceptionally well?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:linear equations rates

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Comienza con la cantidad que Walter ganaría a la tarifa ordinaria durante los diez días

Begin with the amount Walter would earn at the ordinary rate on all ten days

Pista grande:

Cada día de trabajo excepcional añade la misma cantidad a ese valor de referencia

Each exceptionally good day adds the same amount to that baseline

Solución:

Diez días ordinarios pagarían $10\cdot3=30$ dólares. Cada día excepcional añade $5-3=2$ dólares, y el total real es $6$ dólares mayor. Por tanto, hubo $\frac{6}{2}=3$ días excepcionales, así que la respuesta correcta es A.

Ten ordinary days would pay $10\cdot3=30$ dollars. Each exceptional day adds $5-3=2$ dollars, and the actual total is $6$ dollars higher. Thus there were $\frac{6}{2}=3$ exceptional days, so the correct answer is A.

3.

$\displaystyle\frac{(3!)!}{3!}=$

$1$

$2$

$6$

$40$

$120$

Conceptos:factorials arithmetic

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Evalúa el factorial interior antes que el factorial exterior

Evaluate the inner factorial before the outer factorial

Pista grande:

Cancela el denominador con el producto del numerador

Cancel the denominator from the product in the numerator

Solución:

Como $3!=6,$ la expresión es $\frac{6!}{6}=5!=120.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $3!=6,$ the expression is $\frac{6!}{6}=5!=120.$ Thus the correct answer is E.

4.

Seis números de una lista de nueve enteros son $7,$ $8,$ $3,$ $5,$ $9,$ y $5.$ El mayor valor posible de la mediana de los nueve números de la lista es

Six numbers from a list of nine integers are $7,$ $8,$ $3,$ $5,$ $9,$ and $5.$ The largest possible value of the median of all nine numbers in this list is

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:median extremal reasoning

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

La mediana es el quinto número después de ordenar los nueve

The median is the fifth number after all nine are sorted

Pista grande:

Para maximizar la mediana, toma cada uno de los tres números no especificados tan grande como sea necesario

To maximize the median, take each of the three unspecified numbers as large as needed

Solución:

Los seis valores especificados, en orden, son $3,5,5,7,8,9.$ Incluso si los tres enteros no especificados son mayores que $9,$ la quinta entrada de la lista completa ordenada es $8.$ Esto se puede alcanzar, así que la respuesta correcta es D.

The six specified values in order are $3,5,5,7,8,9.$ Even if all three unspecified integers exceed $9,$ the fifth entry of the full sorted list is $8.$ This is attainable, so the correct answer is D.

5.

Dado que $0\lt a\lt b\lt c\lt d,$ ¿cuál de las siguientes expresiones es la mayor?

Given that $0\lt a\lt b\lt c\lt d,$ which of the following is the largest?

$\frac{a+b}{c+d}$

$\frac{a+d}{b+c}$

$\frac{b+c}{a+d}$

$\frac{b+d}{a+c}$

$\frac{c+d}{a+b}$

Conceptos:inequalities fraction comparison

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Una fracción positiva aumenta cuando crece su numerador o disminuye su denominador

A positive fraction grows when its numerator increases or its denominator decreases

Pista grande:

Compara cada numerador y cada denominador con $c+d$ y $a+b$ , respectivamente

Compare every numerator and denominator with $c+d$ and $a+b$ , respectively

Solución:

Entre los numeradores mostrados, $c+d$ es el mayor; entre los denominadores, $a+b$ es el menor. Por tanto, $\frac{c+d}{a+b}$ supera a todas las demás fracciones positivas de la lista, así que la respuesta correcta es E.

Among the displayed numerators, $c+d$ is largest; among the denominators, $a+b$ is smallest. Therefore $\frac{c+d}{a+b}$ exceeds every other positive fraction listed, so the correct answer is E.

6.

Si $f(x)=x^{x+1}(x+2)^{x+3},$ entonces $\begin{gathered} f(0)+f(-1)\\ {}+f(-2)+f(-3)= \end{gathered}$

If $f(x)=x^{x+1}(x+2)^{x+3},$ then $\begin{gathered} f(0)+f(-1)\\ {}+f(-2)+f(-3)= \end{gathered}$

$-\frac89$

$0$

$\frac89$

$1$

$\frac{10}9$

Conceptos:exponents function evaluation

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Evalúa por separado los cuatro valores de la función, prestando atención a los exponentes cero

Evaluate the four function values separately, paying attention to zero exponents

Pista grande:

Los términos para $x=0$ y $x=-2$ se anulan antes de que sea necesario considerar alguna potencia problemática

The terms at $x=0$ and $x=-2$ vanish before any problematic power is needed

Solución:

La sustitución directa da $\begin{aligned} f(0)&=0,\\ f(-1)&=1,\\ f(-2)&=0,\\ f(-3)&=\frac19. \end{aligned}$ Su suma es $\frac{10}{9},$ así que la respuesta correcta es E.

Direct substitution gives $\begin{aligned} f(0)&=0,\\ f(-1)&=1,\\ f(-2)&=0,\\ f(-3)&=\frac19. \end{aligned}$ Their sum is $\frac{10}{9},$ so the correct answer is E.

7.

Un padre lleva a sus gemelos y a un hijo menor a cenar el día del cumpleaños de los gemelos. El restaurante cobra $\$4.95$ por el padre y $\$0.45$ por cada año de edad de un niño, donde la edad se define como la cumplida en el cumpleaños más reciente. Si la cuenta es de $\$9.45,$ ¿cuál de las siguientes podría ser la edad del hijo menor?

A father takes his twins and a younger child out to dinner on the twins’ birthday. The restaurant charges $\$4.95$ for the father and $\$0.45$ for each year of a child’s age, where age is defined as the age at the most recent birthday. If the bill is $\$9.45,$ which of the following could be the age of the youngest child?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:linear Diophantine equations age problems

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Resta de la cuenta el costo del padre y divide el resto entre el precio por año

Subtract the father’s charge and divide the remainder by the price per year

Pista grande:

Si los gemelos tienen $t$ años y el hijo menor tiene $y$ , impón $2t+y=10$ y $y\lt t$

If the twins are $t$ years old and the younger child is $y$ , impose both $2t+y=10$ and $y\lt t$

Solución:

Los niños representan $9.45-4.95=4.50$ dólares de la cuenta, así que la suma de sus edades es $\frac{4.50}{0.45}=10.$ Si cada gemelo tiene $t$ años y el hijo menor tiene $y,$ entonces $2t+y=10$ con $y\lt t.$ Entre las opciones, $y=2$ da $t=4,$ lo cual funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The children account for $9.45-4.95=4.50$ dollars, so their ages total $\frac{4.50}{0.45}=10.$ If each twin is $t$ and the younger child is $y,$ then $2t+y=10$ with $y\lt t.$ Of the choices, $y=2$ gives $t=4,$ which works. Thus the correct answer is B.

8.

Si $3=k\cdot2^r$ y $15=k\cdot4^r,$ entonces $r=$

If $3=k\cdot2^r$ and $15=k\cdot4^r,$ then $r=$

$-\log_2 5$

$\log_5 2$

$\log_{10}5$

$\log_2 5$

$\frac52$

Conceptos:logarithms exponential equations

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Divide la segunda ecuación entre la primera para eliminar $k$

Divide the second equation by the first to eliminate $k$

Pista grande:

Reescribe $\frac{4^r}{2^r}$ como una sola potencia de $2$

Rewrite $\frac{4^r}{2^r}$ as a single power of $2$

Solución:

Al dividir las ecuaciones se obtiene $5=(\frac{4}{2})^r=2^r.$ Por tanto, $r=\log_2 5,$ así que la respuesta correcta es D.

Dividing the equations gives $5=(\frac{4}{2})^r=2^r.$ Hence $r=\log_2 5,$ so the correct answer is D.

9.

El triángulo $PAB$ y el cuadrado $ABCD$ están en planos perpendiculares. Dado que $PA=3,$ $PB=4,$ y $AB=5,$ ¿cuánto mide $PD$ ?

Triangle $PAB$ and square $ABCD$ are in perpendicular planes. Given that $PA=3,$ $PB=4,$ and $AB=5,$ what is $PD?$

$5$

$\sqrt{34}$

$\sqrt{41}$

$2\sqrt{13}$

$8$

Conceptos:three-dimensional geometry Pythagorean theorem

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Primero identifica el ángulo recto en el triángulo $3$ - $4$ - $5$ llamado $PAB$

First identify the right angle in the $3$ - $4$ - $5$ triangle $PAB$

Pista grande:

Una recta de uno de los planos perpendicular a la intersección de los planos es perpendicular al otro plano

A line in one plane perpendicular to the planes’ intersection is perpendicular to the other plane

Solución:

Como $PA^2+PB^2$ $=3^2+4^2=5^2=AB^2,$ el triángulo $PAB$ es rectángulo en $P.$ En el cuadrado $ABCD,$ $AD=5$ y $AD\perp AB.$ Como los dos planos son perpendiculares a lo largo de $AB,$ $AD$ es perpendicular al plano de $PAB$ y, por tanto, a $AP.$ Así, $PD^2=PA^2+AD^2$ $=3^2+5^2=34.$ La respuesta correcta es B.

Since $PA^2+PB^2$ $=3^2+4^2=5^2=AB^2,$ triangle $PAB$ is right at $P.$ In square $ABCD,$ $AD=5$ and $AD\perp AB.$ Because the two planes are perpendicular along $AB,$ $AD$ is perpendicular to the plane of $PAB,$ and hence to $AP.$ Thus $PD^2=PA^2+AD^2$ $=3^2+5^2=34.$ The correct answer is B.

10.

¿Cuántos segmentos tienen ambos extremos en los vértices de un cubo dado?

How many line segments have both their endpoints located at the vertices of a given cube?

$12$

$15$

$24$

$28$

$56$

Conceptos:combinaciones solid geometry

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Un segmento queda determinado al elegir dos vértices distintos del cubo

A segment is determined by choosing two distinct cube vertices

Pista grande:

Cuenta los pares no ordenados entre los ocho vértices del cubo

Count unordered pairs among the cube’s eight vertices

Solución:

Cada par no ordenado de los $8$ vértices del cubo determina un segmento, incluidas las aristas y las diagonales. Hay $\binom82=28,$ así que la respuesta correcta es D.

Every unordered pair of the cube’s $8$ vertices determines one segment, including edges and diagonals. There are $\binom82=28,$ so the correct answer is D.

11.

Dado un círculo de radio $2,$ hay muchos segmentos de longitud $2$ tangentes al círculo en sus puntos medios. Halla el área de la región formada por todos esos segmentos.

Given a circle of radius $2,$ there are many line segments of length $2$ that are tangent to the circle at their midpoints. Find the area of the region consisting of all such line segments.

$\frac{\pi}{4}$

$4-\pi$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$2\pi$

Conceptos:geometric loci annulus area

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Cada segmento tangente se extiende una unidad en cada dirección desde su punto medio

Each tangent segment extends one unit in each direction from its midpoint

Pista grande:

Usa un triángulo rectángulo desde el centro del círculo para hallar los radios interior y exterior de la región barrida

Use a right triangle from the circle’s center to locate the inner and outer radii of the swept region

Solución:

Cada segmento está centrado en un punto de tangencia situado a $2$ unidades del centro del círculo y se extiende $1$ unidad sobre la tangente en ambas direcciones. Al girar el punto de tangencia, los segmentos llenan el anillo de radio interior $2$ y radio exterior $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ Su área es $\pi(5-4)=\pi,$ así que la respuesta correcta es D.

Each segment is centered at a tangency point $2$ units from the circle’s center and extends $1$ unit along the tangent in both directions. As the tangency point rotates, the segments fill the annulus with inner radius $2$ and outer radius $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.$ Its area is $\pi(5-4)=\pi,$ so the correct answer is D.

12.

Una función $f$ de los enteros a los enteros se define de la siguiente manera: $f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{si $n$ es impar},\\ \frac{n}{2} & \text{si $n$ es par}. \end{cases}$ Supón que $k$ es impar y que $f(f(f(k)))=27.$ ¿Cuál es la suma de las cifras de $k$ ?

A function $f$ from the integers to the integers is defined as follows: $f(n)= \begin{cases} n+3 & \text{if $n$ is odd},\\ \frac{n}{2} & \text{if $n$ is even}. \end{cases}$ Suppose $k$ is odd and $f(f(f(k)))=27.$ What is the sum of the digits of $k?$

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

Conceptos:piecewise functions paridad

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Como $k$ es impar, la primera iteración es $k+3$ , que es par

Because $k$ is odd, the first iterate is $k+3$ , which is even

Pista grande:

Trabaja hacia atrás desde $27$ , comprobando la paridad que exige cada rama inversa

Work backward from $27$ , checking the parity required by each inverse branch

Solución:

Como $k$ es impar, $f(k)=k+3$ es par, así que $f(f(k))=\frac{k+3}{2}.$ Si este valor fuera impar, sumar $3$ no podría producir $27$ , pues eso exigiría que el valor fuera $24.$ Por tanto, es par y al dividirlo entre dos se obtiene $27,$ de modo que $\frac{k+3}{2}=54.$ Así, $k=105,$ cuyas cifras suman $6.$ La respuesta correcta es B.

Since $k$ is odd, $f(k)=k+3$ is even, so $f(f(k))=\frac{k+3}{2}.$ If this value were odd, adding $3$ could not produce $27$ because that would require the value $24.$ Therefore it is even and is halved to $27,$ so $\frac{k+3}{2}=54.$ Hence $k=105,$ whose digits sum to $6.$ The correct answer is B.

13.

Sunny corre a velocidad constante y Moonbeam corre $m$ veces más rápido, donde $m$ es un número mayor que $1.$ Si Moonbeam da a Sunny una ventaja inicial de $h$ metros, ¿cuántos metros debe correr Moonbeam para alcanzarlo?

Sunny runs at a steady rate, and Moonbeam runs $m$ times as fast, where $m$ is a number greater than $1.$ If Moonbeam gives Sunny a head start of $h$ meters, how many meters must Moonbeam run to overtake Sunny?

$hm$

$\frac{h}{h+m}$

$\frac{h}{m-1}$

$\frac{hm}{m-1}$

$\frac{h+m}{m-1}$

Conceptos:velocidad relativa algebra

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Sea $v$ la velocidad de Sunny y $mv$ la velocidad de Moonbeam

Let Sunny’s speed be $v$ and Moonbeam’s speed be $mv$

Pista grande:

Si Moonbeam corre $x$ metros, expresa en función de $x$ la distancia que recorre Sunny durante el mismo tiempo

If Moonbeam runs $x$ meters, express Sunny’s distance during the same time in terms of $x$

Solución:

Supón que Moonbeam corre $x$ metros. El tiempo transcurrido es $\frac{x}{mv},$ así que Sunny recorre $\frac{v\cdot x}{mv}=\frac{x}{m}$ metros después de la salida. Al alcanzarlo, $x=h+\frac{x}{m}.$ Al resolver se obtiene $x=\frac{hm}{m-1},$ así que la respuesta correcta es D.

Suppose Moonbeam runs $x$ meters. The elapsed time is $\frac{x}{mv},$ so Sunny runs $\frac{v\cdot x}{mv}=\frac{x}{m}$ meters after the start. At the catch, $x=h+\frac{x}{m}.$ Solving gives $x=\frac{hm}{m-1},$ so the correct answer is D.

14.

Sea $E(n)$ la suma de las cifras pares de $n.$ Por ejemplo, $E(5681)=6+8=14.$ Halla $\begin{gathered} E(1)+E(2)+E(3)+\cdots\\ {}+E(100). \end{gathered}$

Let $E(n)$ denote the sum of the even digits of $n.$ For example, $E(5681)=6+8=14.$ Find $\begin{gathered} E(1)+E(2)+E(3)+\cdots\\ {}+E(100). \end{gathered}$

$200$

$360$

$400$

$900$

$2250$

Conceptos:digit sums place-value counting

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Incluye ceros iniciales y considera los enteros desde $00$ hasta $99$

Include leading zeros and consider the integers from $00$ through $99$

Pista grande:

En cada posición, todas las cifras aparecen el mismo número de veces

In each digit position, every digit occurs equally often

Solución:

Desde $00$ hasta $99,$ cada cifra aparece $10$ veces en cada una de las dos posiciones. Las cifras pares positivas suman $2+4+6+8=20,$ así que la contribución total es $2\cdot10\cdot20=400.$ El número $100$ no aporta ninguna cifra par positiva, así que la respuesta correcta es C.

From $00$ through $99,$ each digit occurs $10$ times in each of the two positions. The positive even digits sum to $2+4+6+8=20,$ so the total contribution is $2\cdot10\cdot20=400.$ The number $100$ contributes no even positive digit, so the correct answer is C.

15.

Dos lados opuestos de un rectángulo se dividen, cada uno, en $n$ segmentos congruentes, y los extremos de uno de estos segmentos se unen al centro para formar el triángulo $A.$ Los otros dos lados se dividen, cada uno, en $m$ segmentos congruentes, y los extremos de uno de estos segmentos se unen al centro para formar el triángulo $B.$ (Se muestra el caso $n=5,$ $m=7.$ ) ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo $A$ y el área del triángulo $B$ ?

Two opposite sides of a rectangle are each divided into $n$ congruent segments, and the endpoints of one segment are joined to the center to form triangle $A.$ The other sides are each divided into $m$ congruent segments, and the endpoints of one of these segments are joined to the center to form triangle $B.$ [See figure for $n=5,$ $m=7.$ ] What is the ratio of the area of triangle $A$ to the area of triangle $B?$

$1$

$\frac mn$

$\frac nm$

$\frac{2m}{n}$

$\frac{2n}{m}$

Conceptos:área del triángulo ratios

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Representa las longitudes de los lados del rectángulo por $w$ y $h$

Write the rectangle’s side lengths as $w$ and $h$

Pista grande:

Cada triángulo tiene como base uno de los segmentos de la división y como altura la mitad de la longitud del lado opuesto

Each triangle has a base that is one divided segment and an altitude equal to half the opposite side length

Solución:

El triángulo $A$ tiene base $\frac{w}{n}$ y altura $\frac{h}{2},$ así que su área es $\frac{wh}{4n}.$ El triángulo $B$ tiene base $\frac{h}{m}$ y altura $\frac{w}{2},$ así que su área es $\frac{wh}{4m}.$ Su razón es $\frac{m}{n},$ y la respuesta correcta es B.

Triangle $A$ has base $\frac{w}{n}$ and altitude $\frac{h}{2},$ so its area is $\frac{wh}{4n}.$ Triangle $B$ has base $\frac{h}{m}$ and altitude $\frac{w}{2},$ so its area is $\frac{wh}{4m}.$ Their ratio is $\frac{m}{n},$ and the correct answer is B.

16.

Se lanza tres veces un dado estándar, justo y de seis caras. Dado que la suma de los dos primeros lanzamientos es igual al tercero, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga al menos un $2$ ?

A fair standard six-sided dice is tossed three times. Given that the sum of the first two tosses equals the third, what is the probability that at least one $2$ is tossed?

$\frac16$

$\frac{91}{216}$

$\frac12$

$\frac8{15}$

$\frac7{12}$

Conceptos:probabilidad condicional case counting

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Bajo la condición dada, cuenta los pares ordenados de los dos primeros lanzamientos cuya suma es a lo sumo $6$

Under the stated condition, count ordered pairs for the first two tosses whose sum is at most $6$

Pista grande:

Para el recuento favorable, separa el caso en que el tercer lanzamiento es $2$ de los pares que tienen un $2$ entre los dos primeros

For the favorable count, separate a third-toss $2$ from pairs having a $2$ among the first two tosses

Solución:

Para terceros lanzamientos de $2,3,4,5,6,$ las cantidades de pares ordenados de los dos primeros lanzamientos son $1,2,3,4,5,$ lo que da $15$ resultados condicionales igualmente probables. Un tercer lanzamiento de $2$ aporta $(1,1,2).$ Un $2$ en la primera posición da $4$ resultados y un $2$ en la segunda da $4,$ con $(2,2,4)$ contado dos veces. Por tanto, hay $1+4+4-1=8$ resultados favorables, y la respuesta correcta es D.

For third tosses $2,3,4,5,6,$ the numbers of ordered first-two-toss pairs are $1,2,3,4,5,$ for $15$ equally likely conditional outcomes. A third toss of $2$ contributes $(1,1,2).$ A $2$ in the first position gives $4$ outcomes and a $2$ in the second gives $4,$ with $(2,2,4)$ counted twice. Thus there are $1+4+4-1=8$ favorable outcomes, and the correct answer is D.

17.

En el rectángulo $ABCD,$ el ángulo $C$ está trisecado por $\overline{CF}$ y $\overline{CE},$ donde $E$ está en $\overline{AB},$ $F$ está en $\overline{AD},$ $BE=6,$ y $AF=2.$ ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano al área del rectángulo $ABCD$ ?

In rectangle $ABCD,$ angle $C$ is trisected by $\overline{CF}$ and $\overline{CE},$ where $E$ is on $\overline{AB},$ $F$ is on $\overline{AD},$ $BE=6,$ and $AF=2.$ Which of the following is closest to the area of the rectangle $ABCD?$

$110$

$120$

$130$

$140$

$150$

Conceptos:trigonometría rectangle area

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada uno de los tres ángulos en $C$ mide $30^\circ$

Each of the three angles at $C$ is $30^\circ$

Pista grande:

Usa los dos triángulos rectángulos adyacentes a los lados $CB$ y $CD$ para determinar la altura y el ancho del rectángulo

Use the two right triangles adjacent to sides $CB$ and $CD$ to determine the rectangle’s height and width

Solución:

Sean $w$ y $h$ el ancho y la altura del rectángulo. En el triángulo rectángulo $CBE,$ $\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h},$ así que $h=6\sqrt3.$ En el triángulo formado por $C,F,D,$ el desplazamiento horizontal es $w$ y el descenso vertical es $h-2,$ por lo que $\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}.$ Así, $w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3.$ El área es $6\sqrt3(18-2\sqrt3)$ $=108\sqrt3-36\approx151.1,$ cuyo valor más cercano es $150.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the rectangle have width $w$ and height $h.$ In right triangle $CBE,$ $\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h},$ so $h=6\sqrt3.$ In the triangle using $C,F,D,$ the horizontal run is $w$ and the vertical drop is $h-2,$ so $\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}.$ Hence $w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3.$ The area is $6\sqrt3(18-2\sqrt3)$ $=108\sqrt3-36\approx151.1,$ closest to $150.$ Thus the correct answer is E.

18.

Un círculo de radio $2$ tiene centro en $(2,0).$ Un círculo de radio $1$ tiene centro en $(5,0).$ Una recta es tangente a los dos círculos en puntos del primer cuadrante. ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano al intercepto con el eje $y$ de la recta?

A circle of radius $2$ has center at $(2,0).$ A circle of radius $1$ has center at $(5,0).$ A line is tangent to the two circles at points in the first quadrant. Which of the following is closest to the $y$ -intercept of the line?

$\frac{\sqrt2}{4}$

$\frac{\sqrt8}{3}$

$1+\sqrt3$

$2\sqrt2$

$3$

Conceptos:geometría analítica common tangents

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe la tangente como $y=mx+b$ y usa la distancia de cada centro a la recta

Write the tangent as $y=mx+b$ and use point-to-line distance for each center

Pista grande:

Resta las dos ecuaciones de distancia para determinar la pendiente antes de hallar el intercepto

Subtract the two distance equations to determine the slope before solving for the intercept

Solución:

Escribe la tangente común superior como $mx-y+b=0$ y sea $s=\sqrt{m^2+1}.$ Las dos distancias de los centros a la recta dan $2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.$ Por tanto, $3m=-s,$ así que $9m^2=m^2+1$ y $m=-\frac{1}{\sqrt8}.$ De la segunda ecuación, $\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write the upper common tangent as $mx-y+b=0$ and let $s=\sqrt{m^2+1}.$ The two center-to-line distances give $2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.$ Thus $3m=-s,$ so $9m^2=m^2+1$ and $m=-\frac{1}{\sqrt8}.$ From the second equation, $\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is D.

19.

Los puntos medios de los lados de un hexágono regular $ABCDEF$ se unen para formar un hexágono menor. ¿Qué fracción del área de $ABCDEF$ queda encerrada por el hexágono menor?

The midpoints of the sides of a regular hexagon $ABCDEF$ are joined to form a smaller hexagon. What fraction of the area of $ABCDEF$ is enclosed by the smaller hexagon?

$\frac12$

$\frac{\sqrt3}{3}$

$\frac23$

$\frac34$

$\frac{\sqrt3}{2}$

Conceptos:similar polygons area ratios

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Compara la distancia entre los puntos medios de dos lados adyacentes con la longitud del lado original

Compare the distance between adjacent side midpoints with the original side length

Pista grande:

Los hexágonos menor y mayor son semejantes, así que eleva al cuadrado la razón de sus lados

The smaller and larger hexagons are similar, so square their side-length ratio

Solución:

Dos puntos medios adyacentes y su vértice común forman un triángulo con dos lados de longitud $\frac{s}{2}$ y ángulo comprendido de $120^\circ.$ El cuadrado de la longitud del lado opuesto es $\begin{aligned} \frac{s^2}{4}+\frac{s^2}{4} &-2\left(\frac{s}{2}\right)^2\cos120^\circ\\ &=\frac{3s^2}{4}. \end{aligned}$ Por tanto, el hexágono menor tiene factor de escala $\frac{\sqrt3}{2},$ y su razón de áreas es $\frac{3}{4}.$ La respuesta correcta es D.

Two adjacent midpoints and their shared vertex form a triangle with two sides $\frac{s}{2}$ and included angle $120^\circ.$ Its opposite side has squared length $\begin{aligned} \frac{s^2}{4}+\frac{s^2}{4} &-2\left(\frac{s}{2}\right)^2\cos120^\circ\\ &=\frac{3s^2}{4}. \end{aligned}$ Thus the smaller hexagon has scale factor $\frac{\sqrt3}{2},$ and its area ratio is $\frac{3}{4}.$ The correct answer is D.

20.

En el plano $xy$ , ¿cuál es la longitud del camino más corto de $(0,0)$ a $(12,16)$ que no entra en el círculo $(x-6)^2+(y-8)^2=25$ ?

In the $xy$ -plane, what is the length of the shortest path from $(0,0)$ to $(12,16)$ that does not go inside the circle $(x-6)^2+(y-8)^2=25?$

$10\sqrt3$

$10\sqrt5$

$10\sqrt3+\frac{5\pi}{3}$

$\frac{40\sqrt3}{3}$

$10+5\pi$

Conceptos:shortest paths tangent lengths arc length

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

El centro del círculo es el punto medio de los dos extremos

The circle’s center is the midpoint of the two endpoints

Pista grande:

El camino permitido más corto consta de dos segmentos tangentes y el arco menor entre sus puntos de tangencia

The shortest permitted path consists of two tangent segments and the shorter arc between their tangency points

Solución:

Cada extremo está a $10$ unidades del centro del círculo, así que cada segmento tangente tiene longitud $\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$ En el triángulo rectángulo de un punto de tangencia, el ángulo en el centro mide $60^\circ.$ Como los rayos hacia los extremos son opuestos, el arco menor intermedio subtiende $180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,$ por lo que su longitud es $\frac{5\pi}{3}.$ El total es $10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},$ y la respuesta correcta es C.

Each endpoint is $10$ units from the circle’s center, so each tangent segment has length $\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.$ In the right triangle at a tangency point, the angle at the center is $60^\circ.$ Since the endpoint rays are opposite, the intervening minor arc subtends $180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,$ so its length is $\frac{5\pi}{3}.$ The total is $10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},$ and the correct answer is C.

21.

Los triángulos $ABC$ y $ABD$ son isósceles, con $AB=AC=BD,$ y $\overline{BD}$ corta a $\overline{AC}$ en $E.$ Si $\overline{BD}\perp\overline{AC},$ entonces $\angle C+\angle D$ es

Triangles $ABC$ and $ABD$ are isosceles with $AB=AC=BD,$ and $\overline{BD}$ intersects $\overline{AC}$ at $E.$ If $\overline{BD}\perp\overline{AC},$ then $\angle C+\angle D$ is

$115^\circ$

$120^\circ$

$130^\circ$

$135^\circ$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Sea $\angle BAC=\alpha$ y expresa $\angle C$ usando el triángulo isósceles $ABC$

Let $\angle BAC=\alpha$ and express $\angle C$ using isosceles triangle $ABC$

Pista grande:

Usa $BD\perp AC$ para hallar el ángulo del vértice $B$ del triángulo isósceles $ABD$

Use $BD\perp AC$ to find the vertex angle at $B$ of isosceles triangle $ABD$

Solución:

Sea $\angle BAC=\alpha.$ Como $AB=AC,$ $\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$ Como $BD\perp AC,$ el ángulo entre $BA$ y $BD$ es $90^\circ-\alpha.$ En el triángulo isósceles $ABD,$ $AB=BD,$ así que sus dos ángulos de la base son $\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}$ Su suma es $135^\circ,$ así que la respuesta correcta es D.

Let $\angle BAC=\alpha.$ Since $AB=AC,$ $\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$ Because $BD\perp AC,$ the angle between $BA$ and $BD$ is $90^\circ-\alpha.$ In isosceles triangle $ABD,$ $AB=BD,$ so its two base angles are $\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}$ Their sum is $135^\circ,$ so the correct answer is D.

22.

Se eligen cuatro puntos distintos, $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ entre $1996$ puntos uniformemente espaciados alrededor de un círculo. Todos los cuádruples tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda $\overline{AB}$ corte a la cuerda $\overline{CD}$ ?

Four distinct points, $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ are to be selected from $1996$ points evenly spaced around a circle. All quadruples are equally likely to be chosen. What is the probability that the chord $\overline{AB}$ intersects the chord $\overline{CD}?$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac12$

$\frac23$

$\frac34$

Conceptos:probabilidad geométrica simetría

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Fija cuatro puntos cualesquiera y examina las tres maneras de emparejarlos para formar dos cuerdas

Fix any four selected points and examine the three ways to pair them into two chords

Pista grande:

Exactamente un emparejamiento une puntos alternados alrededor del círculo

Exactly one pairing joins alternating points around the circle

Solución:

Para cuatro puntos fijos, hay tres maneras de dividir sus rótulos en dos pares no ordenados de cuerdas. Exactamente un emparejamiento une puntos alternados alrededor del círculo y, por ello, se cruza. El par designado $\overline{AB},\overline{CD}$ tiene la misma probabilidad de ser cualquiera de esos tres emparejamientos, así que la probabilidad es $\frac{1}{3}.$ La respuesta correcta es B.

For any fixed four points, there are three ways to partition their labels into two unordered chord pairs. Exactly one pairing joins alternating points around the circle and therefore crosses. The named pair $\overline{AB},\overline{CD}$ is equally likely to be any of these three pairings, so the probability is $\frac{1}{3}.$ The correct answer is B.

23.

La suma de las longitudes de las doce aristas de una caja rectangular es $140,$ y la distancia de un vértice al vértice más lejano es $21.$ El área superficial total de la caja es

The sum of the lengths of the twelve edges of a rectangular box is $140,$ and the distance from one corner of the box to the farthest corner is $21.$ The total surface area of the box is

$776$

$784$

$798$

$800$

$812$

Conceptos:rectangular solids symmetric identities

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Si las longitudes de los lados son $a,b,c$ , traduce a ecuaciones la suma de las aristas y la diagonal espacial

If the side lengths are $a,b,c$ , translate the edge sum and space diagonal into equations

Pista grande:

Expande $(a+b+c)^2$ para obtener directamente $2(ab+bc+ca)$

Expand $(a+b+c)^2$ to obtain $2(ab+bc+ca)$ directly

Solución:

La suma de las aristas da $4(a+b+c)=140,$ por lo que $a+b+c=35.$ La diagonal espacial da $a^2+b^2+c^2=21^2=441.$ Por tanto, el área superficial es $\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The edge sum gives $4(a+b+c)=140,$ so $a+b+c=35.$ The space diagonal gives $a^2+b^2+c^2=21^2=441.$ Therefore the surface area is $\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}$ Thus the correct answer is B.

24.

La sucesión $\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}$ consta de $1$ separados por bloques de $2$ , con $n$ cifras $2$ en el $n$ -ésimo bloque. La suma de los primeros $1234$ términos de esta sucesión es

The sequence $\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}$ consists of $1$ ’s separated by blocks of $2$ ’s with $n$ $2$ ’s in the $n$ th block. The sum of the first $1234$ terms of this sequence is

$1996$

$2419$

$2429$

$2439$

$2449$

Conceptos:sequences triangular numbers

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Cuenta el número total de términos hasta el final del $k$ -ésimo bloque

Count the total number of terms through the end of the $k$ th block

Pista grande:

Halla el último bloque completo antes del término $1234$ y luego cuenta la parte utilizada del bloque siguiente

Find the last complete block before term $1234$ , then account for the partial next block

Solución:

Hasta el bloque $k$ hay $k$ unos y $\frac{k(k+1)}{2}$ doses, por lo que hay $\frac{k(k+3)}{2}$ términos. Para $k=48$ , esto es $1224.$ Su suma es $48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.$ Los $10$ términos siguientes son un $1$ y nueve $2$ , cuya suma es $19.$ La suma solicitada es $2419,$ así que la respuesta correcta es B.

Through block $k$ there are $k$ ones and $\frac{k(k+1)}{2}$ twos, hence $\frac{k(k+3)}{2}$ terms. For $k=48$ this is $1224.$ Their sum is $48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.$ The next $10$ terms are one $1$ and nine $2$ ’s, with sum $19.$ The requested sum is $2419,$ so the correct answer is B.

25.

Dado que $x^2+y^2=14x+6y+6,$ ¿cuál es el mayor valor posible de $3x+4y$ ?

Given that $x^2+y^2=14x+6y+6,$ what is the largest possible value that $3x+4y$ can have?

$72$

$73$

$74$

$75$

$76$

Conceptos:circles linear optimization

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Completa cuadrados para identificar el centro y el radio del círculo

Complete the square to identify the circle’s center and radius

Pista grande:

El máximo de $3x+4y$ es su valor en el centro más el radio por $\sqrt{3^2+4^2}$

The maximum of $3x+4y$ is its value at the center plus the radius times $\sqrt{3^2+4^2}$

Solución:

Al completar cuadrados se obtiene $(x-7)^2+(y-3)^2=64.$ En el centro, $3x+4y=3(7)+4(3)=33.$ Moverse $8$ unidades en la dirección del vector $(3,4)$ aumenta la expresión en $8\sqrt{3^2+4^2}=40.$ El máximo es $73,$ así que la respuesta correcta es B.

Completing the square gives $(x-7)^2+(y-3)^2=64.$ At the center, $3x+4y=3(7)+4(3)=33.$ Moving $8$ units in the direction of the vector $(3,4)$ increases the expression by $8\sqrt{3^2+4^2}=40.$ The maximum is $73,$ so the correct answer is B.

26.

Una urna contiene canicas de cuatro colores: rojo, blanco, azul y verde. Al extraer cuatro canicas sin reemplazo, los siguientes sucesos tienen la misma probabilidad:

(a) seleccionar cuatro canicas rojas;

(b) seleccionar una canica blanca y tres rojas;

(c) seleccionar una canica blanca, una azul y dos rojas; y

(d) seleccionar una canica de cada color.

¿Cuál es el menor número de canicas que satisface la condición dada?

An urn contains marbles of four colors: red, white, blue, and green. When four marbles are drawn without replacement, the following events are equally likely:

(a) the selection of four red marbles;

(b) the selection of one white and three red marbles;

(c) the selection of one white, one blue, and two red marbles; and

(d) the selection of one marble of each color.

What is the smallest number of marbles satisfying the given condition?

$19$

$21$

$46$

$69$

más de $69$

more than $69$

Conceptos:combinaciones Diophantine equations

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Sean $r,w,b,g$ las cantidades de los cuatro colores e iguala los conteos combinatorios de los cuatro sucesos

Let the four color counts be $r,w,b,g$ and equate the combination counts for the four events

Pista grande:

Los cocientes sucesivos determinan $w,b,g$ en función de $r$ ; luego halla el menor $r$ que hace enteros a los tres

Successive ratios determine $w,b,g$ in terms of $r$ ; then find the smallest $r$ making all three integers

Solución:

Las probabilidades iguales tienen el mismo denominador común, así que sus números de selecciones favorables satisfacen $\binom r4=w\binom r3$ $=wb\binom r2=wbgr.$ Los cocientes sucesivos dan $w=\frac{r-3}{4},$ $b=\frac{r-2}{3},$ y $g=\frac{r-1}{2}.$ El menor $r\ge4$ que hace enteros positivos a los tres es $r=11.$ Entonces $(w,b,g)=(2,3,5),$ y hay $11+2+3+5=21$ canicas. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal probabilities have the same common denominator, so their favorable selection counts satisfy $\binom r4=w\binom r3$ $=wb\binom r2=wbgr.$ Successive ratios give $w=\frac{r-3}{4},$ $b=\frac{r-2}{3},$ and $g=\frac{r-1}{2}.$ The least $r\ge4$ making all three positive integers is $r=11.$ Then $(w,b,g)=(2,3,5),$ for $11+2+3+5=21$ marbles. Thus the correct answer is B.

27.

Considera dos bolas esféricas macizas: una con centro en $(0,0,\frac{21}{2})$ y radio $6,$ y la otra con centro en $(0,0,1)$ y radio $\frac92.$ ¿Cuántos puntos $(x,y,z)$ de coordenadas enteras (puntos de la retícula) hay en la intersección de las bolas?

Consider two solid spherical balls, one centered at $(0,0,\frac{21}{2})$ with radius $6,$ and the other centered at $(0,0,1)$ with radius $\frac92.$ How many points $(x,y,z)$ with only integer coordinates (lattice points) are there in the intersection of the balls?

$7$

$9$

$11$

$13$

$15$

Conceptos:lattice points spheres inequalities

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Primero interseca los intervalos enteros posibles para la coordenada $z$ en las dos bolas

First intersect the possible integer ranges for the $z$ -coordinate in the two balls

Pista grande:

En la única altura posible, reduce ambas desigualdades esféricas a una cota para $x^2+y^2$

At the only possible height, reduce both sphere inequalities to a bound on $x^2+y^2$

Solución:

La primera bola permite alturas enteras de $5$ a $16,$ mientras que la segunda permite de $-3$ a $5,$ así que un punto de la retícula en la intersección debe tener $z=5.$ A esa altura, las dos cotas son $\begin{aligned} x^2+y^2 &\le36-\left(5-\frac{21}{2}\right)^2\\ &=\frac{23}{4},\\ x^2+y^2 &\le\frac{81}{4}-(5-1)^2\\ &=\frac{17}{4}. \end{aligned}$ Por tanto, $x^2+y^2$ puede ser $0,1,2,$ o $4.$ Estos valores dan $1,4,4,$ y $4$ pares enteros ordenados, respectivamente, para un total de $13$ puntos. La respuesta correcta es D.

The first ball permits integer heights $5$ through $16,$ while the second permits $-3$ through $5,$ so an intersection lattice point must have $z=5.$ At that height the two bounds are $\begin{aligned} x^2+y^2 &\le36-\left(5-\frac{21}{2}\right)^2\\ &=\frac{23}{4},\\ x^2+y^2 &\le\frac{81}{4}-(5-1)^2\\ &=\frac{17}{4}. \end{aligned}$ Thus $x^2+y^2$ can be $0,1,2,$ or $4.$ These give $1,4,4,$ and $4$ ordered integer pairs, respectively, for $13$ points. The correct answer is D.

28.

En un paralelepípedo rectangular de $4\times4\times3$ , los vértices $A,$ $B,$ y $C$ son adyacentes al vértice $D.$ La distancia perpendicular de $D$ al plano que contiene $A,$ $B,$ y $C$ es aproximadamente

On a $4\times4\times3$ rectangular parallelepiped, vertices $A,$ $B,$ and $C$ are adjacent to vertex $D.$ The perpendicular distance from $D$ to the plane containing $A,$ $B,$ and $C$ is closest to

$1.6$

$1.9$

$2.1$

$2.7$

$2.9$

Conceptos:planes point-to-plane distance

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Coloca $D$ en el origen con las tres aristas adyacentes sobre los ejes coordenados

Place $D$ at the origin with the three adjacent edges along coordinate axes

Pista grande:

Escribe la forma de interceptos del plano que pasa por $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3)$

Write the intercept form of the plane through $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3)$

Solución:

Pon $D=(0,0,0)$ y toma los vértices adyacentes como $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3).$ Su plano es $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=1.$ Su distancia al origen es $\begin{aligned} \frac1{\sqrt{\begin{gathered} (\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^2\\ {}+(\frac{1}{3})^2 \end{gathered}}} &=\frac{12}{\sqrt{34}}\\ &\approx2.06, \end{aligned}$ cuyo valor más cercano es $2.1.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $D=(0,0,0)$ and take the adjacent vertices as $(4,0,0),(0,4,0),(0,0,3).$ Their plane is $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=1.$ Its distance from the origin is $\begin{aligned} \frac1{\sqrt{\begin{gathered} (\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^2\\ {}+(\frac{1}{3})^2 \end{gathered}}} &=\frac{12}{\sqrt{34}}\\ &\approx2.06, \end{aligned}$ closest to $2.1.$ Thus the correct answer is C.

29.

Si $n$ es un entero positivo tal que $2n$ tiene $28$ divisores positivos y $3n$ tiene $30$ divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tiene $6n$ ?

If $n$ is a positive integer such that $2n$ has $28$ positive divisors and $3n$ has $30$ positive divisors, then how many positive divisors does $6n$ have?

$32$

$34$

$35$

$36$

$38$

Conceptos:divisor function factorización en primos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Escribe $n=2^a3^bq$ , donde $q$ es coprimo con $6$ , y sea $t$ el número de divisores de $q$

Write $n=2^a3^bq$ , where $q$ is relatively prime to $6$ , and let $t$ be the number of divisors of $q$

Pista grande:

Usa las dos ecuaciones de conteo de divisores para restringir $t$ a un divisor común de $28$ y $30$

Use the two divisor-count equations to restrict $t$ to a divisor of both $28$ and $30$

Solución:

Escribe $n=2^a3^bq$ con $\gcd(q,6)=1,$ y sea $t=\tau(q).$ Entonces $\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}$ Por tanto, $t$ es $1$ o $2.$ Al comprobar los pares de factores de $14,15$ , no se obtiene solución para $t=2.$ Al comprobar los de $28,30$ para $t=1$ , se obtiene la solución única $a=5,b=3.$ Por consiguiente, $\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}$ así que la respuesta correcta es C.

Write $n=2^a3^bq$ with $\gcd(q,6)=1,$ and let $t=\tau(q).$ Then $\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}$ Hence $t$ is $1$ or $2.$ Checking the factor pairs of $14,15$ gives no solution when $t=2.$ Checking those of $28,30$ when $t=1$ gives the unique solution $a=5,b=3.$ Therefore $\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}$ so the correct answer is C.

30.

Un hexágono inscrito en un círculo tiene tres lados consecutivos de longitud $3$ cada uno y otros tres lados consecutivos de longitud $5$ cada uno. La cuerda que divide el hexágono en dos trapecios, uno con tres lados de longitud $3$ cada uno y el otro con tres lados de longitud $5$ cada uno, tiene longitud $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m+n.$

A hexagon inscribed in a circle has three consecutive sides each of length $3$ and three consecutive sides each of length $5.$ The chord of the circle that divides the hexagon into two trapezoids, one with three sides each of length $3$ and the other with three sides each of length $5,$ has length equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

$309$

$349$

$369$

$389$

$409$

Conceptos:cyclic polygons trigonometría triple-angle identities

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Sean $\alpha$ y $\beta$ los semiángulos centrales subtendidos por los lados de longitudes $3$ y $5$

Let $\alpha$ and $\beta$ be the half-central angles subtended by sides $3$ and $5$

Pista grande:

Usa $\alpha+\beta=60^\circ$ y la razón de las cuerdas para hallar $\sin^2\alpha$ , y luego aplica $\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}$

Use $\alpha+\beta=60^\circ$ and the chord ratio to find $\sin^2\alpha$ , then apply $\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}$

Solución:

Sea $R$ el radio del círculo, y sean $\alpha,\beta$ los semiángulos centrales correspondientes a los lados $3,5.$ Entonces $3=2R\sin\alpha,$ $5=2R\sin\beta,$ y $\alpha+\beta=60^\circ.$ Por tanto, $\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}$ $=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12,$ de modo que $\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13}$ y $\sin^2\alpha=\frac{27}{196}.$ La cuerda divisoria abarca los tres lados consecutivos de longitud $3,$ así que $\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}$ $=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}.$ Por consiguiente, $L=\frac{360}{49},$ de modo que $m+n=409.$ La respuesta correcta es E.

Let the circle have radius $R,$ and let $\alpha,\beta$ be the half-central angles for the sides $3,5.$ Then $3=2R\sin\alpha,$ $5=2R\sin\beta,$ and $\alpha+\beta=60^\circ.$ Thus $\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}$ $=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12,$ so $\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13}$ and $\sin^2\alpha=\frac{27}{196}.$ The dividing chord spans the three consecutive sides of length $3,$ so $\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}$ $=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}.$ Therefore $L=\frac{360}{49},$ so $m+n=409.$ The correct answer is E.