Question

Si $n$ es un entero positivo tal que $2n$ tiene $28$ divisores positivos y $3n$ tiene $30$ divisores positivos, ¿cuántos divisores positivos tiene $6n$ ?

If $n$ is a positive integer such that $2n$ has $28$ positive divisors and $3n$ has $30$ positive divisors, then how many positive divisors does $6n$ have?

$32$

$34$

$35$

$36$

$38$

Respuesta: C

Conceptos:divisor function factorización en primos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Escribe $n=2^a3^bq$ , donde $q$ es coprimo con $6$ , y sea $t$ el número de divisores de $q$

Write $n=2^a3^bq$ , where $q$ is relatively prime to $6$ , and let $t$ be the number of divisors of $q$

Pista grande:

Usa las dos ecuaciones de conteo de divisores para restringir $t$ a un divisor común de $28$ y $30$

Use the two divisor-count equations to restrict $t$ to a divisor of both $28$ and $30$

Solución:

Escribe $n=2^a3^bq$ con $\gcd(q,6)=1,$ y sea $t=\tau(q).$ Entonces $\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}$ Por tanto, $t$ es $1$ o $2.$ Al comprobar los pares de factores de $14,15$ , no se obtiene solución para $t=2.$ Al comprobar los de $28,30$ para $t=1$ , se obtiene la solución única $a=5,b=3.$ Por consiguiente, $\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}$ así que la respuesta correcta es C.

Write $n=2^a3^bq$ with $\gcd(q,6)=1,$ and let $t=\tau(q).$ Then $\begin{aligned} (a+2)(b+1)t&=28,\\ (a+1)(b+2)t&=30. \end{aligned}$ Hence $t$ is $1$ or $2.$ Checking the factor pairs of $14,15$ gives no solution when $t=2.$ Checking those of $28,30$ when $t=1$ gives the unique solution $a=5,b=3.$ Therefore $\begin{aligned} \tau(6n)&=(a+2)(b+2)t\\ &=7\cdot5=35, \end{aligned}$ so the correct answer is C.

1996 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años