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1988 AMC 12 Problema 29

Intenta el Problema 29 del 1988 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1988 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

29.

Representas el peso (y)(y) en función de la estatura (x)(x) de tres amigos y obtienes los puntos (x1,y1),(x_1,y_1), (x2,y2),(x_2,y_2), (x3,y3).(x_3,y_3). Si x1<x2<x3,x3−x2=x2−x1, \begin{aligned} x_1&\lt x_2\lt x_3,\\ x_3-x_2&=x_2-x_1, \end{aligned} ¿cuál de las siguientes expresiones es necesariamente la pendiente de la recta que mejor se ajusta a los datos? «Mejor se ajusta» significa que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta es menor que para cualquier otra recta.

You plot weight (y)(y) against height (x)(x) for three of your friends and obtain the points (x1,y1),(x_1,y_1), (x2,y2),(x_2,y_2), (x3,y3).(x_3,y_3). If x1<x2<x3,x3−x2=x2−x1, \begin{aligned} x_1&\lt x_2\lt x_3,\\ x_3-x_2&=x_2-x_1, \end{aligned} which of the following is necessarily the slope of the line which best fits the data? “Best fits” means that the sum of the squares of the vertical distances from the data points to the line is smaller than for any other line.

y3−y1x3−x1\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}

(y2−y1)−(y3−y2)x3−x1\frac{(y_2-y_1)-(y_3-y_2)}{x_3-x_1}

2y3−y1−y22x3−x1−x2\frac{2y_3-y_1-y_2}{2x_3-x_1-x_2}

y2−y1x2−x1+y3−y2x3−x2\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A
Conceptos:least squarespendientesymmetric coordinates
Nivel de dificultad: 2480
Pista pequeña:

Traslada y escala las coordenadas xx para obtener −1,0,1-1,0,1

Translate and scale the xx-coordinates to −1,0,1-1,0,1

Pista grande:

Para una recta de mínimos cuadrados con valores de xx simétricos, calcula la pendiente a partir del numerador de la covarianza

For a least-squares line through symmetric xx-values, compute the slope from the covariance numerator

Solución:

Traslada y escala de modo que las coordenadas xx sean −d,0,d.-d,0,d. Su promedio es 0,0, por lo que la pendiente de la recta de mínimos cuadrados es (−d)y1+0y2+dy3d2+0+d2=y3−y12d=y3−y1x3−x1. \begin{aligned} \frac{(-d)y_1+0y_2+dy_3}{d^2+0+d^2} &=\frac{y_3-y_1}{2d}\\ &=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}. \end{aligned}

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Translate and scale so the xx-coordinates are −d,0,d.-d,0,d. Their mean is 0,0, so the least-squares slope is (−d)y1+0y2+dy3d2+0+d2=y3−y12d=y3−y1x3−x1. \begin{aligned} \frac{(-d)y_1+0y_2+dy_3}{d^2+0+d^2} &=\frac{y_3-y_1}{2d}\\ &=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}. \end{aligned}

Thus the correct answer is A.

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