Question

Dados los tres números $x,$ $y=x^x,$ $z=x^{(x^x)},$ con $0.9\lt x\lt1.0.$ Ordenados de menor a mayor, son:

Given the three numbers $x,$ $y=x^x,$ $z=x^{(x^x)},$ with $0.9\lt x\lt1.0.$ Arranged in order of increasing magnitude, they are:

$x,$ $z,$ $y$

$x,$ $y,$ $z$

$y,$ $x,$ $z$

$y,$ $z,$ $x$

$z,$ $x,$ $y$

Respuesta: A

Conceptos:exponente desigualdad

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Para $0\lt x\lt1,$ compara las potencias mediante sus exponentes positivos

For $0\lt x\lt1,$ compare powers by comparing their positive exponents

Pista grande:

Primero demuestra $x\lt x^x\lt1$ y luego compara $x^{x^x}$

First show $x\lt x^x\lt1$ , then compare $x^{x^x}$

Solución:

Como $0\lt x\lt1$ y $x\lt1,$ elevar $x$ al exponente $x$ da $x\lt y=x^x\lt1.$ Para una base entre $0$ y $1,$ un exponente mayor produce un valor menor. Como $x\lt y\lt1,$ tenemos $x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.$ Así, $x\lt z\lt y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $0\lt x\lt1$ and $x\lt1,$ raising $x$ to the exponent $x$ gives $x\lt y=x^x\lt1.$ For a base between $0$ and $1,$ a larger exponent gives a smaller value. Because $x\lt y\lt1,$ we have $x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.$ Thus $x\lt z\lt y.$

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 Problema 29

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años