Question

Para cada número positivo $x,$ sea $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.$ El valor mínimo de $f(x)$ es

For each positive number $x,$ let $f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.$ The minimum value of $f(x)$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:manipulación algebraica diferencia de cuadrados Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Sea $t=x+\frac{1}{x}$ y escribe $x^3+x^{-3}$ en términos de $t$

Set $t=x+\frac{1}{x}$ and write $x^3+x^{-3}$ in terms of $t$

Pista grande:

Factoriza el numerador como una diferencia de cuadrados y luego usa $x+\frac{1}{x}\ge2$

Factor the numerator as a difference of squares, then use $x+\frac{1}{x}\ge2$

Solución:

Sean $t=x+\frac{1}{x}$ y $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.$ Como $x^6+x^{-6}=u^2-2,$ el numerador es $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}$ El denominador es $t^3+u,$ así que $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).$ Para $x\gt0,$ se tiene $x+\frac{1}{x}\ge2,$ con igualdad en $x=1.$ Por tanto, el mínimo es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $t=x+\frac{1}{x}$ and $u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.$ Since $x^6+x^{-6}=u^2-2,$ the numerator is $\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}$ The denominator is $t^3+u,$ so $f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).$ For $x\gt0,$ $x+\frac{1}{x}\ge2,$ with equality at $x=1.$ Thus the minimum is $6.$

Therefore, the correct answer is E.

1979 AMC 12 Problema 29

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años