Question

Halla el mayor valor de $\frac{y}{x}$ entre los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

Find the largest value of $\frac{y}{x}$ for pairs of real numbers $(x,y)$ which satisfy $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

$3+2\sqrt2$

$2+\sqrt3$

$3\sqrt3$

$6$

$6+2\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:círculo pendiente recta tangente optimización

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Interpreta $\frac{y}{x}$ como la pendiente de una recta que pasa por el origen

Interpret $\frac{y}{x}$ as the slope of a line through the origin

Pista grande:

En una pendiente extrema, la recta $y=mx$ es tangente al círculo

At an extreme slope, the line $y=mx$ is tangent to the circle

Solución:

El círculo está completamente en la región donde $x\gt0,$ así que $\frac{y}{x}$ es la pendiente $m$ de la recta $y=mx$ que pasa por uno de sus puntos. En un extremo, esta recta es tangente. La distancia del centro $(3,3)$ a $mx-y=0$ debe ser $\sqrt6,$ de modo que $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Al elevar al cuadrado y simplificar se obtiene $m^2-6m+1=0,$ por lo que $m=3\pm2\sqrt2.$ El valor mayor es $3+2\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle lies entirely where $x\gt0,$ so $\frac{y}{x}$ is the slope $m$ of the line $y=mx$ through a point on it. At an extreme, this line is tangent. The distance from the center $(3,3)$ to $mx-y=0$ must equal $\sqrt6,$ so $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Squaring and simplifying gives $m^2-6m+1=0,$ hence $m=3\pm2\sqrt2.$ The larger value is $3+2\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

1984 AMC 12 Problema 29

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años