Question

El triángulo equilátero $ABC$ se ha plegado de modo que el vértice $A$ ahora queda sobre $A'$ en $BC$ , como se muestra. Si $BA'=1$ y $A'C=2,$ entonces la longitud del pliegue $PQ$ es

Equilateral triangle $ABC$ has been creased and folded so that vertex $A$ now rests at $A'$ on $BC$ as shown. If $BA'=1$ and $A'C=2,$ then the length of crease $PQ$ is

$\frac85$

$\frac7{20}\sqrt{21}$

$\frac{1+\sqrt5}{2}$

$\frac{13}{8}$

$\sqrt3$

Respuesta: B

Conceptos:folding mediatriz geometría analítica distance

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Un pliegue es la mediatriz del segmento que une un punto con su imagen

A fold crease is the perpendicular bisector of the segment joining a point to its image

Pista grande:

Coloca $B=(0,0),$ $C=(3,0),$ $A=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2}),$ y $A'=(1,0)$

Place $B=(0,0),$ $C=(3,0),$ $A=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2}),$ and $A'=(1,0)$

Solución:

Con las coordenadas de la pista, la condición de mediatriz para $X=(x,y)$ es $|X-A|=|X-A'|,$ que se simplifica a $x+3\sqrt3\,y=8.$ La intersección de esta recta con $AB,\ y=\sqrt3x,$ da $P=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt3}{5}).$ Su intersección con $AC,\ y=\sqrt3(3-x),$ da $Q=(\frac{19}{8},\frac{5\sqrt3}{8}).$ Por tanto, $\begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{63}{40}\right)^2 +\left(\frac{7\sqrt3}{40}\right)^2}\\ &=\frac7{20}\sqrt{21}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With the coordinates in the hint, the perpendicular-bisector condition for $X=(x,y)$ is $|X-A|=|X-A'|,$ which simplifies to $x+3\sqrt3\,y=8.$ Intersecting this line with $AB,\ y=\sqrt3x,$ gives $P=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt3}{5}).$ Intersecting it with $AC,\ y=\sqrt3(3-x),$ gives $Q=(\frac{19}{8},\frac{5\sqrt3}{8}).$ Hence $\begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{63}{40}\right)^2 +\left(\frac{7\sqrt3}{40}\right)^2}\\ &=\frac7{20}\sqrt{21}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 Problema 29

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años