Question

Sean $r$ y $s$ las raíces de $ax^2+bx+c=0.$ La ecuación cuyas raíces son $ar+b$ y $as+b$ es:

Let the roots of $ax^2+bx+c=0$ be $r$ and $s.$ The equation with roots $ar+b$ and $as+b$ is:

$x^2-bx-ac=0$

$x^2-bx+ac=0$

$x^2+3bx+ca+2b^2=0$

$x^2+3bx-ca+2b^2=0$

$\begin{gathered}x^2+bx(2-a)\\{}+a^2c+b^2(a+1)=0\end{gathered}$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa $r+s=-\frac{b}{a}$ y $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

Pista grande:

Calcula la suma y el producto de $ar+b$ y $as+b$

Compute the sum and product of $ar+b$ and $as+b$

Solución:

Las raíces transformadas tienen suma $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ y producto $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}$ Su ecuación mónica es $x^2-bx+ac=0.$

Así, la respuesta correcta es B.

The transformed roots have sum $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ and product $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}$ Therefore their monic equation is $x^2-bx+ac=0.$

Thus, the correct answer is B.

1961 AMC 12 Problema 29

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años