Question

Para $p=1,$ $2,$ $\ldots,$ $10$ , sea $S_p$ la suma de los primeros $40$ términos de la progresión aritmética cuyo primer término es $p$ y cuya diferencia común es $2p-1;$ entonces $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ es

For $p=1,$ $2,$ $\ldots,$ $10$ let $S_p$ be the sum of the first $40$ terms of the arithmetic progression whose first term is $p$ and whose common difference is $2p-1;$ then $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ is

$80{,}000$

$80{,}200$

$80{,}400$

$80{,}600$

$80{,}800$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Usa la fórmula de una serie aritmética de $40$ términos para un $p$ fijo

Use the $40$ -term arithmetic-series formula for a fixed $p$

Pista grande:

Simplifica $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ antes de sumar sobre $p$

Simplify $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ before summing over $p$

Solución:

Para cada $p,$ $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}$ Como $1+2+\cdots+10=55,$ se tiene $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For each $p,$ $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}$ Since $1+2+\cdots+10=55,$ therefore $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

1974 AMC 12 Problema 29

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años