Question

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se cumple para todos los números $x$ de la forma $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}},$ donde $a_1$ es $0$ o $2,$ $a_2$ es $0$ o $2,$ $\ldots,$ y $a_{25}$ es $0$ o $2$ ?

Which of the following is satisfied by all numbers $x$ of the form $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}},$ where $a_1$ is $0$ or $2,$ $a_2$ is $0$ or $2,$ $\ldots,$ $a_{25}$ is $0$ or $2?$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}\le x\lt\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ o $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ or $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{4}$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica sucesión geométrica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Separa los casos $a_1=0$ y $a_1=2$

Separate the cases $a_1=0$ and $a_1=2$

Pista grande:

Acota los términos restantes mediante la cola geométrica infinita $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$

Bound the remaining terms by the infinite geometric tail $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$

Solución:

Si $a_1=0,$ entonces $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13.$ Si $a_1=2,$ entonces $x\ge\frac{2}{3},$ mientras que $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1.$ Por consiguiente, todo $x$ de esta forma se encuentra en uno de los dos tercios exteriores indicados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $a_1=0,$ then $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13.$ If $a_1=2,$ then $x\ge\frac{2}{3},$ while $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1.$ Hence every such $x$ lies in one of the two stated outer thirds.

Therefore, the correct answer is D.

1974 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años