Question

Halla la suma de las raíces de $\tan^2x-9\tan x+1=0$ que están entre $x=0$ y $x=2\pi$ radianes.

Find the sum of the roots of $\tan^2x-9\tan x+1=0$ that are between $x=0$ and $x=2\pi$ radians.

$\frac\pi2$

$\pi$

$\frac{3\pi}2$

$3\pi$

$4\pi$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

En $\tan x$ , sean $r$ y $s$ las dos raíces positivas

Let the two positive roots in $\tan x$ be $r$ and $s$

Pista grande:

Usa $rs=1$ para relacionar $\arctan r+\arctan s,$ y luego incluye el período de la tangente

Use $rs=1$ to relate $\arctan r+\arctan s,$ then include the period of tangent

Solución:

Las dos raíces $r,s$ de $t^2-9t+1=0$ son positivas y satisfacen $rs=1.$ Por tanto, la suma de sus arcotangentes agudas es $\frac{\pi}{2}.$ Cada valor de la tangente aparece dos veces entre $0$ y $2\pi,$ con la segunda aparición desplazada en $\pi.$ La suma de las cuatro raíces es $2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The two roots $r,s$ of $t^2-9t+1=0$ are positive and satisfy $rs=1.$ Therefore their acute arctangents add to $\frac{\pi}{2}.$ Each tangent value occurs twice between $0$ and $2\pi,$ with the second occurrence shifted by $\pi.$ The sum of all four roots is $2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.$

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 Problema 28

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años