Question

Halla $\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k},$ donde $\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.$

Find $\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k},$ where $\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.$

$-2^{50}$

$-2^{49}$

$0$

$2^{49}$

$2^{50}$

Respuesta: B

Conceptos:teorema del binomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Reconoce $(-1)^k$ como $i^{2k}$

Recognize $(-1)^k$ as $i^{2k}$

Pista grande:

Toma la parte real del desarrollo binomial de $(1+i)^{99}$

Take the real part of the binomial expansion of $(1+i)^{99}$

Solución:

La suma es la parte real de $(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}.$ Como $99\equiv3\pmod8,$ su parte real es $\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The sum is the real part of $(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}.$ Since $99\equiv3\pmod8,$ its real part is $\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

1989 AMC 12 Problema 29

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años