Question

Una moneda “sesgada” tiene probabilidad $\frac23$ de caer cara. Si se lanza esta moneda $50$ veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número total de caras sea par?

An “unfair” coin has a $\frac23$ probability of turning up heads. If this coin is tossed $50$ times, what is the probability that the total number of heads is even?

$2^5\left(\frac23\right)^{50}$

$\frac12\left(1-\frac1{3^{50}}\right)$

$\frac12$

$\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right)$

$\frac23$

Respuesta: D

Conceptos:binomial parity probability recurrence complementary states

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Sigue la diferencia entre las probabilidades de obtener un número par y un número impar de caras

Track the difference between the probabilities of an even and an odd number of heads

Pista grande:

Un lanzamiento multiplica esa diferencia por $P(T)-P(H)$

One toss multiplies that difference by $P(T)-P(H)$

Solución:

Sean $E_n$ y $O_n$ las probabilidades de obtener un número par e impar de caras, respectivamente, después de $n$ lanzamientos. Entonces $E_n+O_n=1,$ mientras que $\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}$ Como $E_0-O_0=1,$ tenemos $E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.$ Al resolver las ecuaciones de suma y diferencia se obtiene $E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $E_n$ and $O_n$ be the probabilities of an even and odd number of heads after $n$ tosses. Then $E_n+O_n=1,$ while $\begin{aligned} E_{n+1}-O_{n+1} &=\left(\frac13-\frac23\right)\\ &\qquad\cdot(E_n-O_n). \end{aligned}$ Since $E_0-O_0=1,$ we have $E_{50}-O_{50}=(-\frac{1}{3})^{50}=3^{-50}.$ Solving the sum and difference equations gives $E_{50}=\frac12\left(1+\frac1{3^{50}}\right).$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 Problema 29

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años