Question

Si $x=t^{\frac{1}{t-1}}$ y $y=t^{\frac{t}{t-1}},$ con $t\gt0$ y $t\ne1,$ una relación entre $x$ y $y$ es:

If $x=t^{\frac{1}{t-1}}$ and $y=t^{\frac{t}{t-1}},$ $t\gt0,$ $t\ne1,$ a relation between $x$ and $y$ is:

$y^x=x^{\frac{1}{y}}$

$y^{\frac{1}{x}}=x^y$

$y^x=x^y$

$x^x=y^y$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:exponente manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Divide $y$ entre $x$ para expresar $t$ en términos de $x$ e $y$

Divide $y$ by $x$ to express $t$ in terms of $x$ and $y$

Pista grande:

Observa también que $y=x^t$ y elimina $t$

Also observe that $y=x^t$ , then eliminate $t$

Solución:

Al dividir las definiciones se obtiene $\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.$ Además, $y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.$ Al sustituir $t=\frac{y}{x}$ , resulta $y=x^{\frac{y}{x}}.$ Al elevar ambos lados a la potencia $x$ , se obtiene $y^x=x^y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Dividing the definitions gives $\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.$ Also, $y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.$ Substituting $t=\frac{y}{x}$ gives $y=x^{\frac{y}{x}}.$ Raising both sides to the power $x$ yields $y^x=x^y.$

Therefore, the correct answer is C.

1969 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años