El conjunto completo de valores de x que satisfacen (x^2-4)/(x^2-1)\gt0 es el de todos los x tales que:

(A) x\gt2 o x\lt-2 o -1\lt x\lt1

(E) x es cualquier real excepto 1 o -1

Si la gráfica de x^2+y^2=m es tangente a la de x+y=√2m, entonces:

(E) m puede ser cualquier número real no negativo

(A) m debe ser igual a \dfrac12

(B) m debe ser igual a \dfrac1\sqrt2

Sea K el área de la región limitada por el eje x , la recta x=8, y la curva definida por \beginaligned f=\(x,y)\mid&\ y&=x\ &cuando 0≤ x\le5,\ y&=2x-5\ &cuando 5≤ x\le8\. \endaligned Entonces, K es:

(E) menor que 44 , pero arbitrariamente cercano a él

Sea L(m) la coordenada x del punto izquierdo de intersección de las gráficas de y=x^2-6 y y=m, donde -6\lt m\lt6. Sea r=([L(-m)-L(m)])/(m). Entonces, al hacer m arbitrariamente cercano a cero, el valor de r es:

(B) arbitrariamente cercano a \dfrac1\sqrt6

(A) arbitrariamente cercano a cero

(C) arbitrariamente cercano a \dfrac2\sqrt6

1969 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Al sumar $x$ al numerador y al denominador de la fracción $\frac{a}{b},$ con $a\ne b,$ $b\ne0,$ el valor de la fracción cambia a $\frac{c}{d}.$ Entonces $x$ es igual a:

When $x$ is added to both the numerator and the denominator of the fraction $\frac{a}{b},$ $a\ne b,$ $b\ne0,$ the value of the fraction is changed to $\frac{c}{d}.$ Then $x$ equals:

$\dfrac1{c-d}$

$\dfrac{ad-bc}{c-d}$

$\dfrac{ad-bc}{c+d}$

$\dfrac{bc-ad}{c-d}$

$\dfrac{bc-ad}{c+d}$

Respuesta: B

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Expresa el cambio como $\frac{a+x}{b+x}=\frac{c}{d}$

Translate the change into $\frac{a+x}{b+x}=\frac{c}{d}$

Pista grande:

Multiplica en cruz y agrupa los términos que contienen $x$

Cross-multiply and collect the terms containing $x$

Solución:

De $\frac{a+x}{b+x}=\frac cd$ se obtiene $ad+dx=bc+cx.$ Por ello, $x(d-c)=bc-ad,$ de modo que $x=\frac{bc-ad}{d-c}=\frac{ad-bc}{c-d}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From $\frac{a+x}{b+x}=\frac cd$ we obtain $ad+dx=bc+cx.$ Hence $x(d-c)=bc-ad,$ so $x=\frac{bc-ad}{d-c}=\frac{ad-bc}{c-d}.$

Therefore, the correct answer is B.

2.

Si un artículo se vende por $x$ dólares, hay una pérdida de $15\%$ calculada sobre el costo. En cambio, si el mismo artículo se vende por $y$ dólares, hay una ganancia de $15\%$ calculada sobre el costo. La razón $y:x$ es:

If an item is sold for $x$ dollars, there is a loss of $15\%$ based on the cost. If, however, the same item is sold for $y$ dollars, there is a profit of $15\%$ based on the cost. The ratio $y:x$ is:

$23:17$

$17y:23$

$23x:17$

depende del costo

dependent upon the cost

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sea $C$ el costo

Let the cost be $C$

Pista grande:

Escribe $x=0.85C$ y $y=1.15C,$ y luego forma la razón

Write $x=0.85C$ and $y=1.15C,$ then form the ratio

Solución:

Si el costo es $C,$ entonces $x=0.85C$ y $y=1.15C.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} y:x&=1.15C:0.85C\\ &=115:85=23:17. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the cost is $C,$ then $x=0.85C$ and $y=1.15C.$ Therefore $\begin{aligned} y:x&=1.15C:0.85C\\ &=115:85=23:17. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

3.

Si $N,$ escrito en base $2,$ es $11000,$ el entero inmediatamente anterior a $N,$ escrito en base $2,$ es:

If $N,$ written in base $2,$ is $11000,$ the integer immediately preceding $N,$ written in base $2,$ is:

$10001$

$10010$

$10011$

$10110$

$10111$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica valor posicional operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Resta $1$ del número binario

Subtract $1$ from the binary number

Pista grande:

Haz los préstamos necesarios atravesando los tres ceros finales

Borrow through the three trailing zeros

Solución:

Restar $1$ de $11000_2$ exige pedir prestado a través de los tres ceros finales. Por ello, $11000_2-1_2=10111_2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Subtracting $1$ from $11000_2$ requires borrowing through the three trailing zeros. Thus $11000_2-1_2=10111_2.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

Sea $*$ una operación binaria en pares ordenados de enteros definida por $(a,b)*(c,d)=(a-c,b+d).$ Si $(3,2)*(0,0)$ y $(x,y)*(3,2)$ representan pares idénticos, entonces $x$ es igual a:

Let a binary operation $*$ on ordered pairs of integers be defined by $(a,b)*(c,d)=(a-c,b+d).$ Then, if $(3,2)*(0,0)$ and $(x,y)*(3,2)$ represent identical pairs, $x$ equals:

$-3$

$0$

$2$

$3$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Evalúa directamente cada operación de pares ordenados

Evaluate each ordered-pair operation directly

Pista grande:

Iguala las primeras coordenadas $3$ y $x-3$

Equate the first coordinates $3$ and $x-3$

Solución:

El primer par es $(3-0,2+0)=(3,2).$ El segundo es $(x-3,y+2).$ La igualdad de las primeras coordenadas da $x-3=3,$ por lo que $x=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first pair is $(3-0,2+0)=(3,2).$ The second is $(x-3,y+2).$ Equality of the first coordinates gives $x-3=3,$ so $x=6.$

Therefore, the correct answer is E.

5.

Si un número $N,$ $N\ne0,$ disminuido en cuatro veces su recíproco es igual a una constante real dada $R,$ entonces, para esa $R,$ la suma de todos los valores posibles de $N$ es:

If a number $N,$ $N\ne0,$ diminished by four times its reciprocal, equals a given real constant $R,$ then, for this given $R,$ the sum of all such possible values of $N$ is:

$\dfrac1R$

$R$

$4$

$\dfrac14$

$-R$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta ecuación racional

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Reescribe $N-\frac{4}{N}=R$ como una cuadrática en $N$

Rewrite $N-\frac{4}{N}=R$ as a quadratic in $N$

Pista grande:

Usa la suma de las raíces de esa cuadrática

Use the sum of the roots of that quadratic

Solución:

Al multiplicar $N-\frac{4}{N}=R$ por $N$ se obtiene $N^2-RN-4=0.$ Por las fórmulas de Vieta, la suma de sus dos raíces es $R$ . Ambas son distintas de cero porque su producto es $-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying $N-\frac{4}{N}=R$ by $N$ gives $N^2-RN-4=0.$ The sum of its two roots is $R$ by Vieta’s formulas. Both roots are nonzero because their product is $-4.$

Therefore, the correct answer is B.

6.

El área del anillo entre dos círculos concéntricos es $12\dfrac12\pi$ pulgadas cuadradas. La longitud, en pulgadas, de una cuerda del círculo mayor tangente al menor es:

The area of the ring between two concentric circles is $12\dfrac12\pi$ square inches. The length of a chord of the larger circle tangent to the smaller circle, in inches, is:

$\dfrac5{\sqrt2}$

$5$

$5\sqrt2$

$10$

$10\sqrt2$

Respuesta: C

Conceptos:corona circular cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Si los radios son $R$ y $r,$ el área da $R^2-r^2=\frac{25}{2}$

If the radii are $R$ and $r,$ the area gives $R^2-r^2=\frac{25}{2}$

Pista grande:

La mitad de la cuerda tangente, el radio menor y el radio mayor forman un triángulo rectángulo

Half the tangent chord, the smaller radius, and the larger radius form a right triangle

Solución:

Sean los radios $R$ y $r.$ El área del anillo da $\pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi.$ El radio al punto de tangencia biseca la cuerda. Si su longitud es $L,$ entonces $\left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2.$ Así, $L=2\sqrt{R^2-r^2},$ por lo que $L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the radii be $R$ and $r.$ The ring area gives $\pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi.$ The radius to the tangent point bisects the chord. If its length is $L,$ then $\left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2.$ Thus $L=2\sqrt{R^2-r^2},$ so $L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

Si los puntos $(1,y_1)$ y $(-1,y_2)$ están en la gráfica de $y=ax^2+bx+c,$ y $y_1-y_2=-6,$ entonces $b$ es igual a:

If the points $(1,y_1)$ and $(-1,y_2)$ lie on the graph of $y=ax^2+bx+c,$ and $y_1-y_2=-6,$ then $b$ equals:

$-3$

$0$

$3$

$\sqrt{ac}$

$\dfrac{a+c}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática sustitución simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Sustituye $x=1$ y $x=-1$

Substitute $x=1$ and $x=-1$

Pista grande:

Resta los dos valores resultantes; los términos con $a$ y $c$ se cancelan

Subtract the two resulting values; the $a$ and $c$ terms cancel

Solución:

Tenemos $y_1=a+b+c$ y $y_2=a-b+c.$ Por lo tanto, $y_1-y_2=2b=-6,$ así que $b=-3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $y_1=a+b+c$ and $y_2=a-b+c.$ Therefore $y_1-y_2=2b=-6,$ so $b=-3.$

Therefore, the correct answer is A.

8.

El triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo. Las medidas de los arcos menores no superpuestos $AB,$ $BC,$ y $CA$ son, respectivamente, $x+75^\circ,$ $2x+25^\circ,$ $3x-22^\circ.$ Entonces uno de los ángulos interiores del triángulo, en grados, mide:

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle. The measures of the non-overlapping minor arcs $AB,$ $BC,$ and $CA$ are, respectively, $x+75^\circ,$ $2x+25^\circ,$ $3x-22^\circ.$ Then one interior angle of the triangle, in degrees, is:

$57\dfrac12$

$59$

$60$

$61$

$122$

Respuesta: D

Conceptos:arco ángulo inscrito suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Los tres arcos no superpuestos suman $360^\circ$

The three non-overlapping arcs sum to $360^\circ$

Pista grande:

Cada ángulo inscrito mide la mitad de su arco interceptado

Each inscribed angle is half the measure of its intercepted arc

Solución:

La suma de los arcos da $\begin{aligned} 6x+78&=360,\\ x&=47. \end{aligned}$ Los arcos miden entonces $122^\circ,$ $119^\circ,$ y $119^\circ.$ El ángulo que intercepta el arco de $122^\circ$ mide $61^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The arc sum gives $\begin{aligned} 6x+78&=360,\\ x&=47. \end{aligned}$ The arcs then measure $122^\circ,$ $119^\circ,$ and $119^\circ.$ The angle intercepting the $122^\circ$ arc measures $61^\circ.$

Therefore, the correct answer is D.

9.

La media aritmética (promedio ordinario) de los cincuenta y dos enteros positivos consecutivos que comienzan con $2$ es:

The arithmetic mean (ordinary average) of the fifty-two successive positive integers beginning with $2$ is:

$27$

$27\dfrac14$

$27\dfrac12$

$28$

$28\dfrac12$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Halla el quincuagésimo segundo entero de la lista

Find the fifty-second integer in the list

Pista grande:

La media de una sucesión aritmética es el promedio de su primer y último término

The mean of an arithmetic sequence is the average of its first and last terms

Solución:

Los enteros van de $2$ a $2+51=53.$ Su media es el promedio del primero y el último: $\frac{2+53}{2}=\frac{55}{2}=27\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The integers run from $2$ through $2+51=53.$ Their mean is the average of the first and last: $\frac{2+53}{2}=\frac{55}{2}=27\frac12.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

El número de puntos equidistantes de un círculo y de dos tangentes paralelas al círculo es:

The number of points equidistant from a circle and two parallel tangents to the circle is:

$0$

$2$

$3$

$4$

infinito

infinite

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente simetría

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Los puntos equidistantes de las dos tangentes paralelas están en su paralela media

Points equidistant from the two parallel tangents lie on their midway parallel line

Pista grande:

En la recta paralela equidistante de ambas tangentes, compara la distancia a una tangente con la distancia al círculo

On that line, compare distance to either tangent with distance to the circle

Solución:

Sea $O$ el centro del círculo y $r$ su radio. Un punto equidistante de las dos tangentes paralelas debe estar en su recta media, que pasa por $O.$ Si su distancia a $O$ es $t,$ su distancia a cualquiera de las tangentes es $r,$ mientras que su distancia al círculo es $\lvert t-r\rvert.$ Así, $\lvert t-r\rvert=r,$ lo que da $t=0$ o $t=2r.$ Hay un punto con $t=0$ y dos con $t=2r,$ para un total de $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the circle have center $O$ and radius $r.$ A point equidistant from the two parallel tangents must lie on their midline, which passes through $O.$ If its distance from $O$ is $t,$ its distance from either tangent is $r,$ while its distance from the circle is $\lvert t-r\rvert.$ Thus $\lvert t-r\rvert=r,$ giving $t=0$ or $t=2r.$ There is one point with $t=0$ and two with $t=2r,$ for a total of $3.$

Therefore, the correct answer is C.

11.

Dados los puntos $P(-1,-2)$ y $Q(4,2)$ en el plano $xy$ , se toma el punto $R(1,m)$ de modo que $PR+RQ$ sea mínimo. Entonces $m$ es igual a:

Given points $P(-1,-2)$ and $Q(4,2)$ in the $xy$ -plane, point $R(1,m)$ is taken so that $PR+RQ$ is a minimum. Then $m$ equals:

$-\dfrac35$

$-\dfrac25$

$-\dfrac15$

$\dfrac15$

$-\dfrac15$ o $\dfrac15$

either $-\dfrac15$ or $\dfrac15$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica pendiente desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

La desigualdad triangular se vuelve igualdad cuando $P,$ $R$ y $Q$ son colineales

The triangle inequality is sharp when $P,$ $R,$ and $Q$ are collinear

Pista grande:

Halla el punto de la recta $PQ$ cuya coordenada $x$ es $1$

Find the point on line $PQ$ whose $x$ -coordinate is $1$

Solución:

Por la desigualdad triangular, $PR+RQ\ge PQ,$ con igualdad cuando $R$ está en el segmento $PQ.$ La pendiente de $PQ$ es $\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.$ Al pasar de $x=-1$ a $x=1$ , la coordenada $y$ aumenta $(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},$ por lo que $m=-2+\frac85=-\frac25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the triangle inequality, $PR+RQ\ge PQ,$ with equality when $R$ lies on segment $PQ.$ The slope of $PQ$ is $\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.$ Moving from $x=-1$ to $x=1$ raises the $y$ -coordinate by $(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},$ so $m=-2+\frac85=-\frac25.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

Sea $F=\dfrac{6x^2+16x+3m}{6}$ el cuadrado de una expresión lineal en $x.$ Entonces $m$ tiene un valor particular entre:

Let $F=\dfrac{6x^2+16x+3m}{6}$ be the square of an expression which is linear in $x.$ Then $m$ has a particular value between:

$3$ y $4$

$3$ and $4$

$4$ y $5$

$4$ and $5$

$5$ y $6$

$5$ and $6$

$-4$ y $-3$

$-4$ and $-3$

$-6$ y $-5$

$-6$ and $-5$

Respuesta: A

Conceptos:completar el cuadrado cuadrado perfecto cuadrática

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Reescribe $F=x^2+\frac83x+\frac m2$

Rewrite $F=x^2+\frac83x+\frac m2$

Pista grande:

Iguala el término constante al cuadrado de la mitad del coeficiente lineal

Match the constant term to the square of half the linear coefficient

Solución:

Tenemos $F=x^2+\frac83x+\frac m2.$ Para que sea un cuadrado, debe ser igual a $(x+\frac{4}{3})^2,$ cuyo término constante es $\frac{16}{9}.$ Por ello, $\frac{m}{2}=\frac{16}{9},$ de modo que $m=\frac{32}{9},$ que está entre $3$ y $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $F=x^2+\frac83x+\frac m2.$ For this to be a square, it must equal $(x+\frac{4}{3})^2,$ whose constant term is $\frac{16}{9}.$ Hence $\frac{m}{2}=\frac{16}{9},$ so $m=\frac{32}{9},$ which lies between $3$ and $4.$

Therefore, the correct answer is A.

13.

Un círculo de radio $r$ está contenido en la región limitada por un círculo de radio $R.$ El área limitada por el círculo mayor es $\frac{a}{b}$ veces el área de la región exterior al círculo menor e interior al mayor. Entonces $R:r$ es igual a:

A circle with radius $r$ is contained within the region bounded by a circle with radius $R.$ The area bounded by the larger circle is $\frac{a}{b}$ times the area of the region outside the smaller circle and inside the larger circle. Then $R:r$ equals:

$\sqrt a:\sqrt b$

$\sqrt a:\sqrt{a-b}$

$\sqrt b:\sqrt{a-b}$

$a:\sqrt{a-b}$

$b:\sqrt{a-b}$

Respuesta: B

Conceptos:corona circular razón de áreas razón y proporción

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Escribe $\pi R^2=(\frac{a}{b})\pi(R^2-r^2)$

Write $\pi R^2=(\frac{a}{b})\pi(R^2-r^2)$

Pista grande:

Despeja la razón $\frac{R^2}{r^2}$ antes de sacar raíces cuadradas

Solve for the ratio $\frac{R^2}{r^2}$ before taking square roots

Solución:

La condición de áreas es $\pi R^2=\frac ab\pi(R^2-r^2).$ Así, $bR^2=aR^2-ar^2,$ por lo que $ar^2=(a-b)R^2.$ Entonces $\frac Rr=\sqrt{\frac a{a-b}},$ y $R:r=\sqrt a:\sqrt{a-b}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The area condition is $\pi R^2=\frac ab\pi(R^2-r^2).$ Thus $bR^2=aR^2-ar^2,$ so $ar^2=(a-b)R^2.$ Therefore $\frac Rr=\sqrt{\frac a{a-b}},$ and $R:r=\sqrt a:\sqrt{a-b}.$

Therefore, the correct answer is B.

14.

El conjunto completo de valores de $x$ que satisfacen $\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\gt0$ es el de todos los $x$ tales que:

The complete set of $x$ -values satisfying the inequality $\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\gt0$ is the set of all $x$ such that:

$x\gt2$ o $x\lt-2$ o $-1\lt x\lt1$

$x\gt2$ or $x\lt-2$ or $-1\lt x\lt1$

$x\gt2$ o $x\lt-2$

$x\gt2$ or $x\lt-2$

$x\gt1$ o $x\lt-2$

$x\gt1$ or $x\lt-2$

$x\gt1$ o $x\lt-1$

$x\gt1$ or $x\lt-1$

$x$ es cualquier real excepto $1$ o $-1$

$x$ is any real number except $1$ or $-1$

Respuesta: A

Conceptos:factorización desigualdad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

El signo solo puede cambiar en $-2,$ $-1,$ $1$ y $2$

The sign can change only at $-2,$ $-1,$ $1,$ and $2$

Pista grande:

Prueba un punto de cada intervalo y excluye los ceros y los puntos no definidos

Test one point in each interval and exclude zeros and undefined points

Solución:

Factoriza la expresión como $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)}.$ Una tabla de signos en $-2,$ $-1,$ $1$ y $2$ muestra que es positiva en $(-\infty,-2)\cup(-1,1)\cup(2,\infty).$ Los extremos $\pm2$ dan cero y en $\pm1$ no está definida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factor the expression as $\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)}.$ A sign chart at $-2,$ $-1,$ $1,$ and $2$ shows it is positive on $(-\infty,-2)\cup(-1,1)\cup(2,\infty).$ The endpoints $\pm2$ give zero and $\pm1$ are undefined.

Therefore, the correct answer is A.

15.

En un círculo de centro $O$ y radio $r,$ se traza la cuerda $AB$ de longitud $r$ . Desde $O$ , una perpendicular a $AB$ corta a $AB$ en $M.$ Desde $M$ , una perpendicular a $OA$ corta a $OA$ en $D.$ En términos de $r,$ el área del triángulo $MDA,$ en unidades cuadradas, es:

In a circle with center at $O$ and radius $r,$ chord $AB$ is drawn with length equal to $r$ units. From $O$ a perpendicular to $AB$ meets $AB$ at $M.$ From $M$ a perpendicular to $OA$ meets $OA$ at $D.$ In terms of $r,$ the area of triangle $MDA,$ in appropriate square units, is:

$\dfrac{3r^2}{16}$

$\dfrac{\pi r^2}{16}$

$\dfrac{\pi r^2\sqrt2}{8}$

$\dfrac{r^2\sqrt3}{32}$

$\dfrac{r^2\sqrt6}{48}$

Respuesta: D

Conceptos:cuerda triángulo equilátero triángulo rectángulo especial área del triángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Como $OA=OB=AB=r,$ el triángulo $OAB$ es equilátero

Because $OA=OB=AB=r,$ triangle $OAB$ is equilateral

Pista grande:

Usa los dos triángulos $30$ - $60$ - $90$ para hallar $AD$ y $MD$

Use the two $30$ - $60$ - $90$ triangles to find $AD$ and $MD$

Solución:

El triángulo $OAB$ es equilátero. Como $OM\perp AB,$ $M$ es el punto medio de $AB,$ de modo que $AM=\frac{r}{2}$ y $\angle OAM=60^\circ.$ En el triángulo rectángulo $AMD,$ la hipotenusa es $AM=\frac{r}{2},$ lo que da $AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}.$ Por ello, $\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangle $OAB$ is equilateral. Since $OM\perp AB,$ $M$ is the midpoint of $AB,$ so $AM=\frac{r}{2}$ and $\angle OAM=60^\circ.$ In right triangle $AMD,$ the hypotenuse is $AM=\frac{r}{2},$ giving $AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}.$ Hence $\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

16.

Al desarrollar $(a-b)^n,$ donde $n\ge2$ y $ab\ne0,$ mediante el teorema del binomio, se observa que, si $a=kb,$ donde $k$ es un entero positivo, la suma del segundo y el tercer término es cero. Entonces, $n$ es igual a:

When $(a-b)^n,$ $n\ge2,$ $ab\ne0,$ is expanded by the binomial theorem, it is found that, when $a=kb,$ where $k$ is a positive integer, the sum of the second and third terms is zero. Then $n$ equals:

$\dfrac12k(k-1)$

$\dfrac12k(k+1)$

$2k-1$

$2k$

$2k+1$

Respuesta: E

Conceptos:teorema del binomio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

El segundo y el tercer término son $-na^{n-1}b$ y $\binom n2a^{n-2}b^2$

The second and third terms are $-na^{n-1}b$ and $\binom n2a^{n-2}b^2$

Pista grande:

Sustituye $a=kb$ y cancela el factor común no nulo

Substitute $a=kb$ and cancel the common nonzero factor

Solución:

La suma del segundo y el tercer término es $-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.$ Al sustituir $a=kb$ y dividir entre la cantidad no nula $na^{n-2}b$ , se obtiene $-k+\frac{n-1}{2}=0.$ Por lo tanto, $n=2k+1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum of the second and third terms is $-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.$ Substituting $a=kb$ and dividing by the nonzero quantity $na^{n-2}b$ gives $-k+\frac{n-1}{2}=0.$ Therefore $n=2k+1.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

La ecuación $2^{2x}-8\cdot2^x+12=0$ se satisface para:

The equation $2^{2x}-8\cdot2^x+12=0$ is satisfied by:

$\log 3$

$\dfrac12\log 6$

$1+\log\dfrac34$

$1+\dfrac{\log3}{\log2}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:exponente logaritmo cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea $t=2^x$ y resuelve una cuadrática en $t$

Let $t=2^x$ and solve a quadratic in $t$

Pista grande:

Una raíz es $t=6$ ; toma logaritmos en base $2$

One root is $t=6$ ; take logarithms base $2$

Solución:

Sea $t=2^x.$ Entonces, $\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}$ La raíz $t=6$ da $\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}$ (La ecuación también se satisface con $x=1,$ que no aparece entre las opciones).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $t=2^x.$ Then $\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}$ The root $t=6$ gives $\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}$ (The equation is also satisfied by $x=1,$ which is not a listed choice.)

Therefore, the correct answer is D.

18.

El número de puntos comunes a las gráficas de

$(x-y+2)(3x+y-4)=0$

y

$(x+y-2)(2x-5y+7)=0$

es:

The number of points common to the graphs of

$(x-y+2)(3x+y-4)=0$

and

$(x+y-2)(2x-5y+7)=0$

is:

$2$

$4$

$6$

$16$

infinito

infinite

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica sistema de ecuaciones conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Cada ecuación factorizada representa un par de rectas

Each factored equation represents a pair of lines

Pista grande:

Interseca cada recta del primer par con cada recta del segundo y comprueba que los puntos sean distintos

Intersect each line from the first pair with each line from the second pair and check distinctness

Solución:

La primera gráfica es el par $x-y+2=0$ y $3x+y-4=0,$ y la segunda es $x+y-2=0$ y $2x-5y+7=0.$ Cada recta del primer par corta a cada recta del segundo. Al resolver las cuatro parejas se obtienen cuatro puntos distintos: $\begin{gathered} (0,2),\quad(-1,1),\\ (1,1),\quad\left(\frac{13}{17},\frac{29}{17}\right). \end{gathered}$ Por lo tanto, hay $4$ puntos comunes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first graph is the pair $x-y+2=0,$ and $3x+y-4=0,$ and the second is $x+y-2=0,$ and $2x-5y+7=0.$ Each line in the first pair meets each line in the second pair. Solving the four pairings gives four distinct points: $\begin{gathered} (0,2),\quad(-1,1),\\ (1,1),\quad\left(\frac{13}{17},\frac{29}{17}\right). \end{gathered}$ Thus there are $4$ common points.

Therefore, the correct answer is B.

19.

El número de pares ordenados distintos $(x,y),$ donde $x$ y $y$ son enteros positivos que satisfacen la ecuación $x^4y^4-10x^2y^2+9=0,$ es:

The number of distinct ordered pairs $(x,y),$ where $x$ and $y$ have positive integral values satisfying the equation $x^4y^4-10x^2y^2+9=0,$ is:

$0$

$3$

$4$

$12$

infinito

infinite

Respuesta: B

Conceptos:Ecuación diofántica factorización conteo de pares

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Trata $x^2y^2$ como una sola variable

Treat $x^2y^2$ as one variable

Pista grande:

Después de factorizar, convierte los valores posibles en condiciones sobre el producto entero positivo $xy$

After factoring, translate the possible values into conditions on the positive integer product $xy$

Solución:

Sea $u=x^2y^2.$ Entonces, $\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0. \end{aligned}$ Como $x$ e $y$ son enteros positivos, esto significa que $xy=1$ o $xy=3.$ Los pares son $(1,1),$ $(1,3)$ y $(3,1),$ para un total de $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $u=x^2y^2.$ Then $\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0. \end{aligned}$ Since $x$ and $y$ are positive integers, this means $xy=1$ or $xy=3.$ The pairs are $(1,1),$ $(1,3),$ and $(3,1),$ for a total of $3.$

Therefore, the correct answer is B.

20.

Sea $P$ el producto de $3{,}659{,}893{,}456{,}789{,}325{,}678$ y $342{,}973{,}489{,}379{,}256.$ El número de dígitos de $P$ es:

Let $P$ equal the product of $3{,}659{,}893{,}456{,}789{,}325{,}678$ and $342{,}973{,}489{,}379{,}256.$ The number of digits in $P$ is:

$36$

$35$

$34$

$33$

$32$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos estimación

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Acota los factores entre $3.6\cdot10^{18}$ y $3.7\cdot10^{18},$ y entre $3.4\cdot10^{14}$ y $3.5\cdot10^{14}$

Bound the factors between $3.6\cdot10^{18}$ and $3.7\cdot10^{18},$ and between $3.4\cdot10^{14}$ and $3.5\cdot10^{14}$

Pista grande:

Demuestra que el producto está entre $10^{33}$ y $10^{34}$

Show the product lies between $10^{33}$ and $10^{34}$

Solución:

Los factores satisfacen $\begin{aligned} 3.6\cdot10^{18}&\lt A\lt3.7\cdot10^{18},\\ 3.4\cdot10^{14}&\lt B\lt3.5\cdot10^{14}. \end{aligned}$ Por consiguiente, $12.24\cdot10^{32}\lt AB\lt12.95\cdot10^{32},$ de modo que $10^{33}\lt P\lt10^{34}.$ Por lo tanto, $P$ tiene $34$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The factors satisfy $\begin{aligned} 3.6\cdot10^{18}&\lt A\lt3.7\cdot10^{18},\\ 3.4\cdot10^{14}&\lt B\lt3.5\cdot10^{14}. \end{aligned}$ Hence $12.24\cdot10^{32}\lt AB\lt12.95\cdot10^{32},$ so $10^{33}\lt P\lt10^{34}.$ Therefore $P$ has $34$ digits.

Therefore, the correct answer is C.

21.

Si la gráfica de $x^2+y^2=m$ es tangente a la de $x+y=\sqrt{2m},$ entonces:

If the graph of $x^2+y^2=m$ is tangent to that of $x+y=\sqrt{2m},$ then:

$m$ debe ser igual a $\dfrac12$

$m$ must equal $\dfrac12$

$m$ debe ser igual a $\dfrac1{\sqrt2}$

$m$ must equal $\dfrac1{\sqrt2}$

$m$ debe ser igual a $\sqrt2$

$m$ must equal $\sqrt2$

$m$ debe ser igual a $2$

$m$ must equal $2$

$m$ puede ser cualquier número real no negativo

$m$ may be any nonnegative real number

Respuesta: E

Conceptos:círculo fórmula de la distancia recta tangente

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

El círculo tiene centro en el origen y radio $\sqrt m$

The circle has center the origin and radius $\sqrt m$

Pista grande:

Calcula la distancia del origen a $x+y-\sqrt{2m}=0$

Find the distance from the origin to $x+y-\sqrt{2m}=0$

Solución:

El círculo tiene radio $\sqrt m.$ La distancia del origen a la recta es $\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.$ Por ello, la recta es tangente para todo $m\ge0$ (el caso $m=0$ degenera en el origen).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle has radius $\sqrt m.$ The distance from the origin to the line is $\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.$ Thus the line is tangent for every $m\ge0$ (with the $m=0$ case degenerate at the origin).

Therefore, the correct answer is E.

22.

Sea $K$ el área de la región limitada por el eje $x$ , la recta $x=8,$ y la curva definida por

$\begin{aligned} f=\{(x,y)\mid{}&\\ y&=x\\ &\text{cuando }0\le x\le5,\\ y&=2x-5\\ &\text{cuando }5\le x\le8\}. \end{aligned}$

Entonces, $K$ es:

Let $K$ be the measure of the area bounded by the $x$ -axis, the line $x=8,$ and the curve defined by

$\begin{aligned} f=\{(x,y)\mid{}&\\ y&=x\\ &\text{when }0\le x\le5,\\ y&=2x-5\\ &\text{when }5\le x\le8\}. \end{aligned}$

Then $K$ is:

$21.5$

$36.4$

$36.5$

$44$

menor que $44$ , pero arbitrariamente cercano a él

less than $44$ but arbitrarily close to it

Respuesta: C

Conceptos:descomposición de áreas trapecio área del triángulo

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Divide la región en $x=5$

Split the region at $x=5$

Pista grande:

Usa un triángulo de $0$ a $5$ y un trapecio de $5$ a $8$

Use a triangle from $0$ to $5$ and a trapezoid from $5$ to $8$

Solución:

Desde $x=0$ hasta $5,$ la región es un triángulo de área $\frac12(5)(5)=12.5.$ Desde $x=5$ hasta $8,$ las alturas en los extremos son $5$ y $11,$ así que el trapecio tiene área $\frac12(5+11)(3)=24.$ Por lo tanto, $K=12.5+24=36.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From $x=0$ to $5,$ the region is a triangle of area $\frac12(5)(5)=12.5.$ From $x=5$ to $8,$ the endpoint heights are $5$ and $11,$ so the trapezoid has area $\frac12(5+11)(3)=24.$ Thus $K=12.5+24=36.5.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

Para cualquier entero $n$ mayor que $1,$ el número de primos mayores que $n!+1$ y menores que $n!+n$ es:

Aquí $n!=1\cdot2\cdots(n-1)n.$

For any integer $n$ greater than $1,$ the number of prime numbers greater than $n!+1$ and less than $n!+n$ is:

Here $n!=1\cdot2\cdots(n-1)n.$

$0$

$1$

$\dfrac n2$ si $n$ es par; $\dfrac{n+1}{2}$ si $n$ es impar

$\dfrac n2$ for $n$ even, $\dfrac{n+1}{2}$ for $n$ odd

$n-1$

$n$

Respuesta: A

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Todo entero estrictamente entre los extremos tiene la forma $n!+k$ , con $2\le k\le n-1$

Every integer strictly between the endpoints has the form $n!+k$ with $2\le k\le n-1$

Pista grande:

Usa que $k$ divide tanto a $n!$ como a $n!+k$

Use the fact that $k$ divides both $n!$ and $n!+k$

Solución:

Todo entero del intervalo tiene la forma $n!+k$ para algún $2\le k\le n-1.$ Como $n!$ es divisible por $k,$ también lo es $n!+k,$ y $n!+k\gt k.$ Por lo tanto, todos esos enteros son compuestos. (Para $n=2,$ el intervalo está vacío). Así, no hay primos en el intervalo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every integer in the interval has the form $n!+k$ for some $2\le k\le n-1.$ Because $n!$ is divisible by $k,$ so is $n!+k,$ and $n!+k\gt k.$ Thus every such integer is composite. (For $n=2,$ the interval is empty.) Hence there are no primes in the interval.

Therefore, the correct answer is A.

24.

Al dividir los números naturales $P$ y $P',$ con $P\gt P',$ entre el número natural $D,$ los residuos son $R$ y $R',$ respectivamente. Al dividir $PP'$ y $RR'$ entre $D,$ los residuos son $r$ y $r',$ respectivamente. Entonces:

When the natural numbers $P$ and $P',$ with $P\gt P',$ are divided by the natural number $D,$ the remainders are $R$ and $R',$ respectively. When $PP'$ and $RR'$ are divided by $D,$ the remainders are $r$ and $r',$ respectively. Then:

$r\gt r'$ siempre

$r\gt r'$ always

$r\lt r'$ siempre

$r\lt r'$ always

$r\gt r'$ a veces, y $r\lt r'$ a veces

$r\gt r'$ sometimes, and $r\lt r'$ sometimes

$r\gt r'$ a veces, y $r=r'$ a veces

$r\gt r'$ sometimes, and $r=r'$ sometimes

$r=r'$ siempre

$r=r'$ always

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Escribe $P\equiv R\pmod D$ y $P'\equiv R'\pmod D$

Write $P\equiv R\pmod D$ and $P'\equiv R'\pmod D$

Pista grande:

Multiplica las dos congruencias

Multiply the two congruences

Solución:

Por definición de los residuos, $\begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned}$ Al multiplicar se obtiene $PP'\equiv RR'\pmod D.$ Como cada uno tiene un residuo único entre $0$ y $D-1,$ sus residuos deben ser iguales: $r=r'.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By definition of the remainders, $\begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned}$ Multiplying gives $PP'\equiv RR'\pmod D.$ Since each has a unique remainder between $0$ and $D-1,$ their remainders must be equal: $r=r'.$

Therefore, the correct answer is E.

25.

Si se sabe que $\log_2a+\log_2b\ge6,$ entonces el menor valor que puede tomar $a+b$ es:

If it is known that $\log_2a+\log_2b\ge6,$ then the least value that can be taken on by $a+b$ is:

$2\sqrt6$

$6$

$8\sqrt2$

$16$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo Desigualdad MA-MG optimización

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Combina los logaritmos para acotar $ab$

Combine the logarithms to bound $ab$

Pista grande:

Aplica $a+b\ge2\sqrt{ab}$

Apply $a+b\ge2\sqrt{ab}$

Solución:

La condición logarítmica da $\log_2(ab)\ge6,$ así que $ab\ge64.$ Por la desigualdad AM-GM, $a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16.$ La igualdad se alcanza cuando $a=b=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The logarithm condition gives $\log_2(ab)\ge6,$ so $ab\ge64.$ By AM-GM, $a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16.$ Equality is attained at $a=b=8.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

Un arco parabólico tiene $16$ pulgadas de altura y $40$ pulgadas de ancho. La altura del arco, en pulgadas, en un punto situado a $5$ pulgadas del centro $M,$ es:

A parabolic arch has a height of $16$ inches and a span of $40$ inches. The height, in inches, of the arch at a point $5$ inches from the center $M,$ is:

$1$

$15$

$15\dfrac13$

$15\dfrac12$

$15\dfrac34$

Respuesta: B

Conceptos:parábola geometría analítica sustitución

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen y escribe la parábola como $y=16-ax^2$

Place the center at the origin and write the parabola as $y=16-ax^2$

Pista grande:

Usa el extremo $(20,0)$ para hallar $a$ y luego sustituye $x=5$

Use the endpoint $(20,0)$ to find $a$ , then substitute $x=5$

Solución:

Coloca $M$ en el origen con la base sobre el eje $x$ . El arco tiene ecuación $y=16-ax^2.$ Como $(20,0)$ pertenece a él, $0=16-400a,$ así que $a=\frac{1}{25}.$ Para $x=5,$ $y=16-\frac{25}{25}=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $M$ at the origin with the span on the $x$ -axis. The arch has equation $y=16-ax^2.$ Since $(20,0)$ lies on it, $0=16-400a,$ so $a=\frac{1}{25}.$ At $x=5,$ $y=16-\frac{25}{25}=15.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

Una partícula se mueve de modo que, durante la segunda milla y las siguientes, su rapidez varía inversamente con el número entero de millas ya recorridas. Durante cada una de esas millas la rapidez es constante. Si la segunda milla se recorre en $2$ horas, el tiempo, en horas, necesario para recorrer la $n$ -ésima milla es:

A particle moves so that its speed for the second and subsequent miles varies inversely as the integral number of miles already traveled. For each subsequent mile the speed is constant. If the second mile is traversed in $2$ hours, then the time, in hours, needed to traverse the $n$ th mile is:

$\dfrac2{n-1}$

$\dfrac{n-1}{2}$

$\dfrac2n$

$2n$

$2(n-1)$

Respuesta: E

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Durante la $n$ -ésima milla, el número de millas ya recorridas es $n-1$

During the $n$ th mile, the number of miles already traveled is $n-1$

Pista grande:

El tiempo para una distancia fija de una milla varía directamente con $n-1$

Time for a fixed one-mile distance varies directly as $n-1$

Solución:

Para la $n$ -ésima milla, $v_n=\frac{k}{n-1}.$ Como la distancia es una milla, el tiempo es $T_n=\frac1{v_n}=\frac{n-1}{k}.$ La condición $T_2=2$ da $\frac{1}{k}=2.$ Por lo tanto, $T_n=2(n-1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the $n$ th mile, $v_n=\frac{k}{n-1}.$ Since the distance is one mile, the time is $T_n=\frac1{v_n}=\frac{n-1}{k}.$ The condition $T_2=2$ gives $\frac{1}{k}=2.$ Therefore $T_n=2(n-1).$

Therefore, the correct answer is E.

28.

Sea $n$ el número de puntos $P$ interiores a un círculo de radio $1,$ tales que la suma de los cuadrados de las distancias de $P$ a los extremos de un diámetro dado es $3.$ Entonces, $n$ es:

Let $n$ be the number of points $P$ interior to the region bounded by a circle with radius $1,$ such that the sum of the squares of the distances from $P$ to the endpoints of a given diameter is $3.$ Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

$4$

infinito

infinite

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia círculo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Coloca el círculo con centro en el origen y extremos del diámetro $(-1,0)$ y $(1,0)$

Place the circle at the origin with diameter endpoints $(-1,0)$ and $(1,0)$

Pista grande:

Simplifica la suma de las dos distancias al cuadrado

Simplify the sum of the two squared distances

Solución:

Sea $P=(x,y)$ y toma como extremos del diámetro $(-1,0)$ y $(1,0).$ La condición se convierte en $\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}$ Así, $x^2+y^2=\frac{1}{2}.$ Esta es una circunferencia completa de radio $\frac{1}{\sqrt2},$ situada dentro del círculo unitario dado. Contiene infinitos puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $P=(x,y)$ and take the diameter endpoints as $(-1,0)$ and $(1,0).$ The condition becomes $\begin{aligned} PA^2+PB^2&=3,\\ 2x^2+2y^2+2&=3. \end{aligned}$ Thus $x^2+y^2=\frac{1}{2}.$ This is an entire circle of radius $\frac{1}{\sqrt2},$ lying inside the given unit circle. It contains infinitely many points.

Therefore, the correct answer is E.

29.

Si $x=t^{\frac{1}{t-1}}$ y $y=t^{\frac{t}{t-1}},$ con $t\gt0$ y $t\ne1,$ una relación entre $x$ y $y$ es:

If $x=t^{\frac{1}{t-1}}$ and $y=t^{\frac{t}{t-1}},$ $t\gt0,$ $t\ne1,$ a relation between $x$ and $y$ is:

$y^x=x^{\frac{1}{y}}$

$y^{\frac{1}{x}}=x^y$

$y^x=x^y$

$x^x=y^y$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:exponente manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Divide $y$ entre $x$ para expresar $t$ en términos de $x$ e $y$

Divide $y$ by $x$ to express $t$ in terms of $x$ and $y$

Pista grande:

Observa también que $y=x^t$ y elimina $t$

Also observe that $y=x^t$ , then eliminate $t$

Solución:

Al dividir las definiciones se obtiene $\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.$ Además, $y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.$ Al sustituir $t=\frac{y}{x}$ , resulta $y=x^{\frac{y}{x}}.$ Al elevar ambos lados a la potencia $x$ , se obtiene $y^x=x^y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Dividing the definitions gives $\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.$ Also, $y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.$ Substituting $t=\frac{y}{x}$ gives $y=x^{\frac{y}{x}}.$ Raising both sides to the power $x$ yields $y^x=x^y.$

Therefore, the correct answer is C.

30.

Sea $P$ un punto de la hipotenusa $AB$ (o de su prolongación) del triángulo rectángulo isósceles $ABC.$ Sea $s=AP^2+PB^2.$ Entonces:

Let $P$ be a point of hypotenuse $AB$ (or its extension) of isosceles right triangle $ABC.$ Let $s=AP^2+PB^2.$ Then:

$s\lt2CP^2$ para un número finito de posiciones de $P$

$s\lt2CP^2$ for a finite number of positions of $P$

$s\lt2CP^2$ para un número infinito de posiciones de $P$

$s\lt2CP^2$ for an infinite number of positions of $P$

$s=2CP^2$ solo si $P$ es el punto medio de $AB$ o un extremo de $AB$

$s=2CP^2$ only if $P$ is the midpoint of $AB$ or an endpoint of $AB$

$s=2CP^2$ siempre

$s=2CP^2$ always

$s\gt2CP^2$ si $P$ es un punto de trisección de $AB$

$s\gt2CP^2$ if $P$ is a trisection point of $AB$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Coloca el punto medio de $AB$ en el origen y $AB$ sobre el eje $x$

Put the midpoint of $AB$ at the origin and $AB$ on the $x$ -axis

Pista grande:

Usa $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a)$ y $P=(p,0)$

Use $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a),$ and $P=(p,0)$

Solución:

Toma $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a)$ y $P=(p,0).$ Esto describe todos los puntos de la recta que contiene la hipotenusa. Entonces, $\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}$ Por lo tanto, $s=2CP^2$ para toda posición de $P.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Take $A=(-a,0),$ $B=(a,0),$ $C=(0,a),$ and $P=(p,0).$ This describes every point on the hypotenuse line. Then $\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}$ Thus $s=2CP^2$ for every position of $P.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

Sea $OABC$ un cuadrado unitario en el plano $xy$ , con $O(0,0),$ $A(1,0),$ $B(1,1),$ y $C(0,1).$ Sean $u=x^2-y^2$ y $v=2xy$ las ecuaciones que definen una transformación del plano $xy$ al plano $uv$ . La transformada (o imagen) del cuadrado es:

Let $OABC$ be a unit square in the $xy$ -plane with $O(0,0),$ $A(1,0),$ $B(1,1),$ and $C(0,1).$ Let $u=x^2-y^2$ and $v=2xy$ define a transformation of the $xy$ -plane into the $uv$ -plane. The transform (or image) of the square is:

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica parábola transformación

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Halla la imagen de los cuatro vértices y luego transforma cada lado por separado

Map the four vertices and then transform each side separately

Pista grande:

Los lados horizontales y verticales se convierten en dos segmentos y dos arcos parabólicos

The horizontal sides and vertical sides become two line segments and two parabolic arcs

Solución:

Los vértices se transforman así: $\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}$ El lado $OA$ se transforma en el segmento de $(0,0)$ a $(1,0),$ y $CO$ en el segmento de $(-1,0)$ a $(0,0).$ En $AB,$ $x=1,$ por lo que $u=1-\frac{v^2}{4};$ en $BC,$ $y=1,$ por lo que $u=\frac{v^2}{4}-1.$ Estos son los dos arcos parabólicos superiores que unen $(\pm1,0)$ con $(0,2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertices map as $\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}$ Side $OA$ maps to the segment from $(0,0)$ to $(1,0),$ and $CO$ maps to the segment from $(-1,0)$ to $(0,0).$ On $AB,$ $x=1,$ so $u=1-\frac{v^2}{4};$ on $BC,$ $y=1,$ so $u=\frac{v^2}{4}-1.$ These are the two upper parabolic arcs joining $(\pm1,0)$ to $(0,2).$

Therefore, the correct answer is D.

32.

Sea una sucesión $\{u_n\}$ definida por $u_1=5$ y la relación $u_{n+1}-u_n=3+4(n-1),$ para $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Si $u_n$ se expresa como un polinomio en $n,$ la suma algebraica de sus coeficientes es:

Let a sequence $\{u_n\}$ be defined by $u_1=5$ and the relation $u_{n+1}-u_n=3+4(n-1),$ $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ If $u_n$ is expressed as a polynomial in $n,$ the algebraic sum of its coefficients is:

$3$

$4$

$5$

$6$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio recursión sustitución

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

La suma de los coeficientes de un polinomio es su valor en $n=1$

The sum of a polynomial’s coefficients is its value at $n=1$

Pista grande:

El problema ya da $u_1$

The problem already gives $u_1$

Solución:

Para cualquier polinomio $p(n),$ la suma de sus coeficientes es $p(1).$ Aquí el polinomio representa $u_n,$ y la condición inicial da $u_1=5.$ Por lo tanto, la suma de los coeficientes es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For any polynomial $p(n),$ the sum of its coefficients is $p(1).$ Here the polynomial represents $u_n,$ and the initial condition gives $u_1=5.$ Therefore the coefficient sum is $5.$

Therefore, the correct answer is C.

33.

Sean $S_n$ y $T_n$ las respectivas sumas de los primeros $n$ términos de dos sucesiones aritméticas. Si $S_n:T_n=(7n+1):(4n+27)$ para todo $n,$ la razón entre el undécimo término de la primera sucesión y el undécimo término de la segunda es:

Let $S_n$ and $T_n$ be the respective sums of the first $n$ terms of two arithmetic series. If $S_n:T_n=(7n+1):(4n+27)$ for all $n,$ the ratio of the eleventh term of the first series to the eleventh term of the second series is:

$4:3$

$3:2$

$7:4$

$78:71$

indeterminada

undetermined

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética razón y proporción

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

En una sucesión aritmética, el término central de los primeros $21$ términos es igual a su promedio

In an arithmetic sequence, the middle term of the first $21$ terms equals their average

Pista grande:

Expresa cada undécimo término como la suma correspondiente de $21$ términos dividida entre $21$

Express each eleventh term as its corresponding $21$ -term sum divided by $21$

Solución:

En una sucesión aritmética, el undécimo término es el promedio de los primeros $21$ términos. Así, los respectivos undécimos términos son $\frac{S_{21}}{21}$ y $\frac{T_{21}}{21}.$ Su razón es $\frac{S_{21}}{T_{21}} =\frac{7(21)+1}{4(21)+27} =\frac{148}{111} =\frac43.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For an arithmetic sequence, the eleventh term is the average of the first $21$ terms. Thus the respective eleventh terms are $\frac{S_{21}}{21}$ and $\frac{T_{21}}{21}.$ Their ratio is $\frac{S_{21}}{T_{21}} =\frac{7(21)+1}{4(21)+27} =\frac{148}{111} =\frac43.$

Therefore, the correct answer is A.

34.

El residuo $R$ que se obtiene al dividir $x^{100}$ entre $x^2-3x+2$ es un polinomio de grado menor que $2.$ Entonces, $R$ puede escribirse como:

The remainder $R$ obtained by dividing $x^{100}$ by $x^2-3x+2$ is a polynomial of degree less than $2.$ Then $R$ may be written as:

$2^{100}-1$

$2^{100}(x-1)-(x-2)$

$2^{100}(x-3)$

$x(2^{100}-1)+2(2^{99}-1)$

$2^{100}(x+1)-(x+2)$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Escribe $R(x)=ax+b$ y usa $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

Write $R(x)=ax+b$ and use $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

Pista grande:

Evalúa la identidad de la división en $x=1$ y $x=2$

Evaluate the division identity at $x=1$ and $x=2$

Solución:

Escribe $R(x)=ax+b.$ Como el divisor es $(x-1)(x-2),$ al evaluar la identidad de la división en sus raíces se obtiene $R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write $R(x)=ax+b.$ Since the divisor is $(x-1)(x-2),$ evaluating the division identity at its roots gives $R(1)=1,\qquad R(2)=2^{100}.$ Therefore $\begin{aligned} R(x)&=1+(2^{100}-1)(x-1)\\ &=2^{100}(x-1)-(x-2). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

35.

Sea $L(m)$ la coordenada $x$ del punto izquierdo de intersección de las gráficas de $y=x^2-6$ y $y=m,$ donde $-6\lt m\lt6.$ Sea $r=\frac{[L(-m)-L(m)]}{m}.$ Entonces, al hacer $m$ arbitrariamente cercano a cero, el valor de $r$ es:

Let $L(m)$ be the $x$ -coordinate of the left endpoint of the intersection of the graphs of $y=x^2-6$ and $y=m,$ where $-6\lt m\lt6.$ Let $r=\frac{[L(-m)-L(m)]}{m}.$ Then, as $m$ is made arbitrarily close to zero, the value of $r$ is:

arbitrariamente cercano a cero

arbitrarily close to zero

arbitrariamente cercano a $\dfrac1{\sqrt6}$

arbitrarily close to $\dfrac1{\sqrt6}$

arbitrariamente cercano a $\dfrac2{\sqrt6}$

arbitrarily close to $\dfrac2{\sqrt6}$

arbitrariamente grande

arbitrarily large

indeterminado

undetermined

Respuesta: B

Conceptos:cálculo radical racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

La coordenada de la intersección izquierda es $L(m)=-\sqrt{6+m}$

The left intersection coordinate is $L(m)=-\sqrt{6+m}$

Pista grande:

Sustituye en $r$ y racionaliza el numerador

Substitute into $r$ and rationalize the numerator

Solución:

La intersección izquierda satisface $L(m)=-\sqrt{6+m}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} r&=\frac{-\sqrt{6-m}+\sqrt{6+m}}{m}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6+m}+\sqrt{6-m}}. \end{aligned}$ Cuando $m$ se aproxima a $0,$ esto se aproxima a $\frac{2}{2\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The left intersection satisfies $L(m)=-\sqrt{6+m}.$ Hence $\begin{aligned} r&=\frac{-\sqrt{6-m}+\sqrt{6+m}}{m}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6+m}+\sqrt{6-m}}. \end{aligned}$ As $m$ approaches $0,$ this approaches $\frac{2}{2\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}.$

Therefore, the correct answer is B.

Problemas del 1969 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande: