Question

Sea una sucesión $\{u_n\}$ definida por $u_1=5$ y la relación $u_{n+1}-u_n=3+4(n-1),$ para $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Si $u_n$ se expresa como un polinomio en $n,$ la suma algebraica de sus coeficientes es:

Let a sequence $\{u_n\}$ be defined by $u_1=5$ and the relation $u_{n+1}-u_n=3+4(n-1),$ $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ If $u_n$ is expressed as a polynomial in $n,$ the algebraic sum of its coefficients is:

$3$

$4$

$5$

$6$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio recursión sustitución

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

La suma de los coeficientes de un polinomio es su valor en $n=1$

The sum of a polynomial’s coefficients is its value at $n=1$

Pista grande:

El problema ya da $u_1$

The problem already gives $u_1$

Solución:

Para cualquier polinomio $p(n),$ la suma de sus coeficientes es $p(1).$ Aquí el polinomio representa $u_n,$ y la condición inicial da $u_1=5.$ Por lo tanto, la suma de los coeficientes es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For any polynomial $p(n),$ the sum of its coefficients is $p(1).$ Here the polynomial represents $u_n,$ and the initial condition gives $u_1=5.$ Therefore the coefficient sum is $5.$

Therefore, the correct answer is C.

1969 AMC 12 Problema 32

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años