Question

El mayor de los siguientes enteros que divide a cada término de la sucesión $1^5-1,$ $2^5-2,$ $3^5-3,$ $\ldots$ $n^5-n,$ $\ldots$ es:

The largest of the following integers which divides each of the numbers of the sequence $1^5-1,$ $2^5-2,$ $3^5-3,$ $\ldots$ $n^5-n,$ $\ldots$ is:

$1$

$60$

$15$

$120$

$30$

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad aritmética modular Pequeño teorema de Fermat

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Demuestra que $n^5-n$ siempre es divisible entre $2,$ $3,$ y $5$

Show $n^5-n$ is always divisible by $2,$ $3,$ and $5$

Pista grande:

Usa factores consecutivos para $2$ y $3,$ y residuos módulo $5$ para el factor restante

Use consecutive factors for $2$ and $3,$ and residues modulo $5$ for the remaining factor

Solución:

Factorizamos $\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}$ Entre tres enteros consecutivos, uno es divisible entre $3$ y al menos uno es par, por lo que la expresión es divisible entre $6.$ Además, $n^5\equiv n\pmod5$ para todo entero $n,$ así que es divisible entre $5.$ Por consiguiente, cada término es divisible entre $30.$ Al tomar $n=2$ se obtiene $2^5-2=30,$ por lo que ningún entero mayor de la lista puede dividir a todos los términos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor $\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}$ Among three consecutive integers, one is divisible by $3$ and at least one is even, so the expression is divisible by $6.$ Also $n^5\equiv n\pmod5$ for every integer $n,$ so it is divisible by $5.$ Hence every term is divisible by $30.$ Taking $n=2$ gives $2^5-2=30,$ so no larger listed integer can divide every term.

Thus, the correct answer is E.

1957 AMC 12 Problema 32

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años