Question

Si $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}$ entonces $s$ es igual a:

If $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}$ then $s$ is equal to:

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$1-2^{-\frac{1}{32}}$

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})$

$\frac{1}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:diferencia de cuadrados telescópica exponente

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sea $x=2^{-\frac{1}{32}}$

Set $x=2^{-\frac{1}{32}}$

Pista grande:

Aplica repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados hasta el factor $1+x^{16}$

Apply the difference-of-squares identity repeatedly through the factor $1+x^{16}$

Solución:

Sea $x=2^{-\frac{1}{32}}.$ Entonces $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$ Por tanto, $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $x=2^{-\frac{1}{32}}.$ Then $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$ Therefore $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.$

Therefore, the correct answer is A.

1971 AMC 12 Problema 32

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años