Question

Si $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ para $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n-1$ y $x_1=1,$ halla $x_1+x_2+\cdots+x_n.$

If $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n-1$ and $x_1=1,$ find $x_1+x_2+\cdots+x_n.$

$\dfrac{n+1}{2}$

$\dfrac{n+3}{2}$

$\dfrac{n^2-1}{2}$

$\dfrac{n^2+n}{4}$

$\dfrac{n^2+3n}{4}$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La recurrencia define una sucesión aritmética con diferencia común $\frac{1}{2}$

The recurrence defines an arithmetic sequence with common difference $\frac{1}{2}$

Pista grande:

Halla $x_n$ y luego usa $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

Find $x_n$ , then use $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

Solución:

Tenemos $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1962 AMC 12 Problema 32

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años