Question

La longitud $l$ de una tangente trazada desde un punto $A$ a un círculo es $\dfrac43$ del radio $r.$ La distancia más corta de $A$ al círculo es:

The length $l$ of a tangent, drawn from a point $A$ to a circle, is $\dfrac43$ of the radius $r.$ The (shortest) distance from $A$ to the circle is:

$\dfrac12r$

$r$

$\dfrac12l$

$\dfrac23l$

un valor entre $r$ y $l$

a value between $r$ and $l$

Respuesta: C

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo círculo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Une $A$ con el centro y con el punto de tangencia

Join $A$ to the center and to the point of tangency

Pista grande:

Usa el triángulo rectángulo cuyos catetos son $r$ y $l=\frac{4r}{3}$

Use the right triangle with legs $r$ and $l=\frac{4r}{3}$

Solución:

Si $O$ es el centro y $T$ el punto de tangencia, entonces $OT\perp AT.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3}. \end{aligned}$ La distancia más corta de $A$ al círculo es $AO-r=\frac{2r}{3}.$ Como $l=\frac{4r}{3},$ esta distancia es igual a $\frac{l}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $O$ is the center and $T$ the point of tangency, then $OT\perp AT.$ Hence $\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3}. \end{aligned}$ The shortest distance from $A$ to the circle is $AO-r=\frac{2r}{3}.$ Since $l=\frac{4r}{3},$ this distance equals $\frac{l}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1959 AMC 12 Problema 32

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 32 en otros años